Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.
Como a solução se comporta quando t -> infinito ?
y^(4) + y = 0 ; y(0) = 0, y'(0) = 0, y''(0) = -1, y'''(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial de ordem 4 com as condições iniciais , , e . A matéria aqui é Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os coeficientes específicos da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à equação diferencial. Para , a equação característica é:
Resolvendo para :
Isso nos dá quatro raízes complexas:

Passo 3

Com essas raízes, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar essas constantes. Primeiro, calculamos as derivadas de :
Isso pode ficar bem trabalhoso, mas vamos focar em resolver para as condições fornecidas.

Passo 5

Aplicando na solução geral:
Portanto, .

Passo 6

Aplicando a primeira derivada em :
Usando , simplificamos e encontramos uma relação entre e .

Passo 7

Continuando com as condições iniciais e , repetimos o processo de derivação e substituição para obter mais equações que nos permitirão resolver para e .

Passo 8

Após resolver o sistema de equações obtido das condições iniciais, encontramos os valores das constantes. Assim, substituímos esses valores na solução geral para obter a solução particular da equação diferencial.

Passo 9

Finalmente, para analisar o comportamento quando , observamos os termos exponenciais na solução:
Como tende ao infinito, o termo cresce sem limites, enquanto tende a zero. Portanto, a solução tende ao infinito.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
Com as constantes encontradas a partir das condições iniciais. Quando , a solução tende ao infinito.

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