Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.
Como a solução se comporta quando
?
Como a solução se comporta quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial de ordem 4
com as condições iniciais
,
,
e
. A matéria aqui é Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os coeficientes específicos da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à equação diferencial. Para
, a equação característica é:
Resolvendo para
:
Isso nos dá quatro raízes complexas:
Passo 3
Com essas raízes, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar essas constantes. Primeiro, calculamos as derivadas de
:
Isso pode ficar bem trabalhoso, mas vamos focar em resolver para as condições fornecidas.
Passo 5
Aplicando
na solução geral:
Portanto,
.
Passo 6
Aplicando a primeira derivada em
:
Usando
, simplificamos e encontramos uma relação entre
e
.
Passo 7
Continuando com as condições iniciais
e
, repetimos o processo de derivação e substituição para obter mais equações que nos permitirão resolver para
e
.
Passo 8
Após resolver o sistema de equações obtido das condições iniciais, encontramos os valores das constantes. Assim, substituímos esses valores na solução geral para obter a solução particular da equação diferencial.
Passo 9
Finalmente, para analisar o comportamento quando
, observamos os termos exponenciais na solução:
Como
tende ao infinito, o termo
cresce sem limites, enquanto
tende a zero. Portanto, a solução tende ao infinito.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Com as constantes encontradas a partir das condições iniciais. Quando
, a solução tende ao infinito.