Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.
Como a solução se comporta quando
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Como a solução se comporta quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem com condições iniciais. O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para descobrir as constantes. Também vamos analisar como a solução se comporta quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, buscamos soluções da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Substituindo
na equação diferencial, temos:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Passo 4
Vamos resolver a equação característica:
Isso nos dá uma raiz imediata
. Agora, resolvemos o polinômio quadrático:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes
,
e
, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais:
Primeiro, calculamos as derivadas de
:
Passo 7
Aplicando
nas equações:
Agora, temos um sistema de três equações para resolver:
Passo 8
Vamos resolver o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Agora,
Por fim, da primeira equação:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
Quando
tende ao infinito (
), os termos exponenciais
e
tendem a zero. Portanto,
se aproxima de 8.