Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico.
Como a solução se comporta quando t -> infinito ?
6 y''' + 5 y'' + y' = 0 ; y(0) = -2, y'(0) = 2, y''(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem com condições iniciais. O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para descobrir as constantes. Também vamos analisar como a solução se comporta quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, buscamos soluções da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo na equação diferencial, temos:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:

Passo 4

Vamos resolver a equação característica:
Isso nos dá uma raiz imediata . Agora, resolvemos o polinômio quadrático:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes , e , a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, , e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais:
Primeiro, calculamos as derivadas de :

Passo 7

Aplicando nas equações:
Agora, temos um sistema de três equações para resolver:

Passo 8

Vamos resolver o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora,
Por fim, da primeira equação:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
Quando tende ao infinito ( ), os termos exponenciais e tendem a zero. Portanto, se aproxima de 8.

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