Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização
da função no ponto.
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisamos mostrar que ela é diferenciável no ponto
. Depois disso, vamos encontrar a linearização
dessa função nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser diferenciável em um ponto. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por um plano linear nesse ponto. Para verificar isso, a gente precisa calcular as derivadas parciais da função em
e ver se elas existem e são contínuas ali.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Como as derivadas parciais existem e são contínuas no ponto
, podemos concluir que a função
é diferenciável nesse ponto.
Passo 5
Com as derivadas parciais encontradas, podemos construir a linearização
da função no ponto
. A fórmula da linearização é:
Onde
é o ponto de interesse, que no nosso caso é
.
Passo 6
Vamos calcular
:
Agora, substituindo na fórmula da linearização:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
A função
é diferenciável no ponto
, e a linearização da função nesse ponto é: