Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização L(x, y) da função no ponto. f(x, y) = x * raiz(y) no ponto 1,4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos mostrar que ela é diferenciável no ponto . Depois disso, vamos encontrar a linearização dessa função nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser diferenciável em um ponto. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por um plano linear nesse ponto. Para verificar isso, a gente precisa calcular as derivadas parciais da função em e ver se elas existem e são contínuas ali.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Como as derivadas parciais existem e são contínuas no ponto , podemos concluir que a função é diferenciável nesse ponto.

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, podemos construir a linearização da função no ponto . A fórmula da linearização é:
Onde é o ponto de interesse, que no nosso caso é .

Passo 6

Vamos calcular :
Agora, substituindo na fórmula da linearização:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:

Resposta

A função é diferenciável no ponto , e a linearização da função nesse ponto é:

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