Determine a aproximação linear da função
em
, e use-a para calcular aproximadamente
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a aproximação linear da função
no ponto
. Vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais para achar a reta tangente nessa posição e, assim, aproximar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
. Primeiro, calculamos
:
Depois, calculamos as derivadas parciais no ponto:
Passo 4
Com as derivadas encontradas, podemos montar a aproximação linear
da função
em torno de
. A fórmula da aproximação linear é:
Substituindo
e os valores calculados:
Passo 5
Agora, vamos usar a aproximação linear para estimar
. Substituindo
e
na expressão de
:
Arredondando, temos aproximadamente
.
Resposta
A aproximação linear de
em
é
, e
.