Determine a aproximação linear da função f(x, y) = raiz(20 - x^2 - 7y^2) em (2,1), e use-a para calcular aproximadamente f(1.95 ; 1.06).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a aproximação linear da função no ponto . Vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais para achar a reta tangente nessa posição e, assim, aproximar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto . Primeiro, calculamos :
Depois, calculamos as derivadas parciais no ponto:

Passo 4

Com as derivadas encontradas, podemos montar a aproximação linear da função em torno de . A fórmula da aproximação linear é:
Substituindo e os valores calculados:

Passo 5

Agora, vamos usar a aproximação linear para estimar . Substituindo e na expressão de :
Arredondando, temos aproximadamente .

Resposta

A aproximação linear de em é , e .

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