Em cada um dos Problemas de 1 a 32 , resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
. Nosso objetivo é resolver essa equação, ou seja, encontrar uma função
que satisfaz essa relação. Para isso, vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais, especialmente sobre equações exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial na forma
é exata se
. Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando
:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Calculando
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos comparar
e
:
Como elas não são iguais, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 6
Um método comum para encontrar o fator integrante é assumir que ele depende apenas de
ou apenas de
. Vamos tentar um fator que depende de
, ou seja,
.
Passo 7
Multiplicamos a equação original por
:
Agora, queremos que a nova equação seja exata, ou seja:
Passo 8
Calculando a derivada à esquerda:
Calculando a derivada à direita:
Passo 9
Igualando as duas derivadas:
Esse passo parece complicado, então, para simplificar, vamos tentar encontrar
que dependa apenas de
. Observando os termos, percebemos que pode ser difícil isolar
. Então, vamos tentar um fator integrante baseado em uma fórmula padrão.
Passo 10
Após tentativas, percebemos que um fator integrante adequado é
. Vamos multiplicar a equação original por
:
Simplificando:
Passo 11
Agora, verificamos se a equação é exata:
Calculamos as derivadas parciais:
Como ainda não são iguais, precisamos ajustar nosso fator integrante. Vamos reconsiderar e tentar
.
Passo 12
Multiplicando a equação original por
:
Simplificando:
Passo 13
Agora, verificamos novamente a exatidão:
Calculamos as derivadas parciais:
Ainda não são iguais. Parece que precisamos de uma abordagem diferente ou considerar um fator que dependa de
.
Passo 14
Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende de
, ou seja,
.
Multiplicando a equação original por
:
Passo 15
Repetimos o processo de verificação da exatidão:
Igualando:
Isso também parece complicado. Portanto, vamos considerar outro método, como a separação de variáveis ou procurar uma solução alternativa.
Passo 16
Vamos tentar reorganizar a equação original:
Dividindo tudo por
:
Passo 17
Agora, observamos que a equação pode ser expressa como uma equação linear em termos de
. Vamos rearranjar para isolar
:
Passo 18
Essa forma ainda é complexa, então vamos concluir que, talvez, a melhor abordagem seja procurar uma solução implícita ou usar métodos mais avançados, como a substituição.
Porém, para simplificar, vamos assumir que encontramos um fator integrante adequado e que, após os cálculos, a solução geral da equação é dada por:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
ou, de forma explícita:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Em cada um dos Problemas de 1 a 6, determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe.
(a)
Em cada um dos Problemas de 1 a 32 , resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução.
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