Em cada um dos Problemas de 1 a 32 , resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução.
20.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos usar a técnica de separação de variáveis, que ajuda a reorganizar a equação de forma que todas as expressões com
fiquem de um lado e as com
do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação
de uma maneira que facilite a separação das variáveis. Sabemos que
é a derivada de
em relação a
, então podemos escrever:
Passo 3
Agora, queremos separar as variáveis
e
. Para isso, vamos manipular a equação para que todos os termos com
fiquem de um lado e os com
do outro. Podemos reescrever a equação como:
Isso foi feito dividindo ambos os lados por
.
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
em termos de
. A integração fica assim:
Passo 5
Calculando as integrais, temos:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 6
Vamos juntar as duas expressões e simplificar as constantes:
Onde
é uma constante geral.
Passo 7
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Podemos reescrever
como uma nova constante
:
Passo 8
Para isolar
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Podemos renomear a constante
para simplificar:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Em cada um dos Problemas de 1 a 32 , resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução.
10.
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Em cada um dos Problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.
Em cada um dos Problemas de 1 a 6, determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe.