Em cada um dos Problemas de 1 a 32 , resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução.
20.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema faz parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos usar a técnica de separação de variáveis, que ajuda a reorganizar a equação de forma que todas as expressões com fiquem de um lado e as com do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma maneira que facilite a separação das variáveis. Sabemos que é a derivada de em relação a , então podemos escrever:

Passo 3

Agora, queremos separar as variáveis e . Para isso, vamos manipular a equação para que todos os termos com fiquem de um lado e os com do outro. Podemos reescrever a equação como:
Isso foi feito dividindo ambos os lados por .

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar em termos de . A integração fica assim:

Passo 5

Calculando as integrais, temos:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Onde e são constantes de integração.

Passo 6

Vamos juntar as duas expressões e simplificar as constantes:
Onde é uma constante geral.

Passo 7

Agora, vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Podemos reescrever como uma nova constante :

Passo 8

Para isolar , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Podemos renomear a constante para simplificar:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Usando coordenadas cilíndricas, calcule onde é a regiâo delimitada pelo plano , pelo parobolóide e pelo cilindro .
Em cada um dos Problemas de 1 a 32 , resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução.
10.
Em cada um dos Problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.
Em cada um dos Problemas de 1 a 6, determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe.