(1,5) Calcule as segmintes integrais:
(a) integral0^2 integral0^pi / 2 x cos (x y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular uma integral dupla. A gente vai trabalhar com integração de funções que envolvem o cosseno. Precisamos integrar a função primeiro em relação a de 0 a e depois em relação a de 0 a 2. Para isso, vamos usar técnicas de integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar integral0^pi / 2 x cos(x y) , dy em relação a . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .
A integral fica:

Passo 3

Para resolver essa integral, usamos a fórmula de integração de , que é , onde é uma constante.
Aqui, , então a antiderivada de em relação a é .

Passo 4

Multiplicando pela constante x cdot sin(x y)x = sin(x y) , temos:
integral0^pi / 2 x cos(x y) , dy = sin(x y) |0^pi / 2
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de sin(x cdot pi2) = sin(pi x2) :
Para sin(0) = 0 :
sin(pi x2) - 0 = sin(pi x2)
Para :
Então, a diferença é:

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral original em relação a integral0^2 sin(pi x2) , dx :

Passo 7

Para integrar -cos(pi x2)pi2 = -2pi cos(pi x2) , usamos a fórmula de antiderivada de , que é , onde .
Então, a antiderivada é:

Passo 8

Avaliamos essa antiderivada nos limites de -2pi cos(pi cdot 22) = -2pi cos(pi) = -2pi (-1) = 2pi de 0 a 2:
Para -2pi cos(0) = -2pi (1) = -2pi :
Para :

Passo 9

Calculamos a diferença:
2pi - (-2pi) = 2pi + 2pi = 4pi

Resposta

O valor da integral dupla é .

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