Calcule as segmintes integrais:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular uma integral dupla. A gente vai trabalhar com integração de funções que envolvem o cosseno. Precisamos integrar a função primeiro em relação a de 0 a e depois em relação a de 0 a 2. Para isso, vamos usar técnicas de integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .
A integral fica:

Passo 3

Para resolver essa integral, usamos a fórmula de integração de , que é , onde é uma constante.
Aqui, , então a antiderivada de em relação a é .

Passo 4

Multiplicando pela constante , temos:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de :
Para :
Para :
Então, a diferença é:

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral original em relação a :

Passo 7

Para integrar , usamos a fórmula de antiderivada de , que é , onde .
Então, a antiderivada é:

Passo 8

Avaliamos essa antiderivada nos limites de de 0 a 2:
Para :
Para :

Passo 9

Calculamos a diferença:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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4.
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Em cada um dos Problemas de 1 a 6, determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe.
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10.