Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular uma integral dupla. A gente vai trabalhar com integração de funções que envolvem o cosseno. Precisamos integrar a função primeiro em relação a de 0 a e depois em relação a de 0 a 2. Para isso, vamos usar técnicas de integração passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .
A integral fica:
Passo 3
Para resolver essa integral, usamos a fórmula de integração de , que é , onde é uma constante.
Aqui, , então a antiderivada de em relação a é .
Passo 4
Multiplicando pela constante , temos:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de sin(x cdot pi2) = sin(pi x2) :
Para sin(0) = 0 :
sin(pi x2) - 0 = sin(pi x2)
Para :
Então, a diferença é:
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na integral original em relação a integral0^2 sin(pi x2) , dx :
Passo 7
Para integrar -cos(pi x2)pi2 = -2pi cos(pi x2) , usamos a fórmula de antiderivada de , que é , onde .
Então, a antiderivada é:
Passo 8
Avaliamos essa antiderivada nos limites de -2pi cos(pi cdot 22) = -2pi cos(pi) = -2pi (-1) = 2pi de 0 a 2: