Usando coordenadas cilíndricas, calcule onde é a regiâo delimitada pelo plano , pelo parobolóide e pelo cilindro .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla usando coordenadas cilíndricas. A região é delimitada pelo plano (ou seja, ), pelo paraboloide e pelo cilindro . Para isso, vamos precisar entender como converter para coordenadas cilíndricas e definir os limites de integração adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, temos as relações:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Além disso, . Então, a função que vamos integrar fica:
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para , e .
Para : Como a região é circular devido ao cilindro , varia de a .
Para : O cilindro implica , então vai de a .
Para : A região está entre o plano () e o paraboloide , então vai de a .
Passo 4
Vamos agora montar a integral tripla com os limites que definimos: