Usando coordenadas cilíndricas, calcule onde é a regiâo delimitada pelo plano , pelo parobolóide e pelo cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla usando coordenadas cilíndricas. A região é delimitada pelo plano (ou seja, ), pelo paraboloide e pelo cilindro . Para isso, vamos precisar entender como converter para coordenadas cilíndricas e definir os limites de integração adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, temos as relações:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Além disso, . Então, a função que vamos integrar fica:

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para , e .
  • Para : Como a região é circular devido ao cilindro , varia de a .
  • Para : O cilindro implica , então vai de a .
  • Para : A região está entre o plano ( ) e o paraboloide , então vai de a .

Passo 4

Vamos agora montar a integral tripla com os limites que definimos:
Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :

Resposta

O valor da integral tripla é:

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