(1,5) Usando coordenadas cilíndricas, calcule I=integral triplaT(x^2+y^2+2) d V onde T é a regiâo delimitada pelo plano x y, pelo parobolóide z=x^2+y^2 e pelo cilindro x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla usando coordenadas cilíndricas. A região é delimitada pelo plano (ou seja, ), pelo paraboloide e pelo cilindro . Para isso, vamos precisar entender como converter para coordenadas cilíndricas e definir os limites de integração adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, temos as relações:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
dV = r , dr , dtheta , dz
Além disso, x^2 + y^2 + 2 = r^2 + 2 . Então, a função que vamos integrar fica:

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para , e .
  • Para : Como a região é circular devido ao cilindro , varia de a .
  • Para : O cilindro implica , então vai de a .
  • Para : A região está entre o plano ( ) e o paraboloide , então vai de a .

Passo 4

Vamos agora montar a integral tripla com os limites que definimos:
I = integral0^2pi integral0^2 integral0^r^2 (r^2 + 2) cdot r , dz , dr , dtheta
Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integral em integral0^r^2 (r^2 + 2) cdot r , dz = (r^2 + 2) cdot r cdot z |0^r^2 = (r^2 + 2) cdot r cdot r^2 = r^5 + 2r^3 :
integral0^2 (r^5 + 2r^3) , dr = integral0^2 r^5 , dr + 2 integral0^2 r^3 , dr = [ r^66 ]0^2 + 2 [ r^44 ]0^2 = 646 + 2 cdot 164 = 646 + 8 = 64 + 486 = 1126 = 563
  1. Integral em integral0^2pi 563 , dtheta = 563 cdot 2pi = 112pi3 :
  1. Integral em :

Resposta

O valor da integral tripla I = 112pi3 é:

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