Em cada um dos Problemas de 1 a 6, determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe.
2. t(t-4) y' + y = 0, y(2) = 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial:
O objetivo é determinar um intervalo onde a solução dessa equação certamente existe. Para isso, vamos usar o conteúdo de Teoria das Equações Diferenciais, especificamente o Teorema de Existência e Unicidade. Precisaremos verificar onde os coeficientes da equação são contínuos.

Passo 2

Vamos reescrever a equação para facilitar a análise. A equação dada pode ser arrumada para isolar :
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade, precisamos que as funções e sejam contínuas no intervalo considerado. Vamos verificar onde é contínuo.

Passo 4

A função será contínua exceto nos pontos onde o denominador é zero, ou seja, quando:
Portanto, não é contínua em e .

Passo 5

Como a condição inicial é em , precisamos de um intervalo que inclua esse ponto e que não contenha os valores onde não é contínua (0 e 4). Assim, o intervalo válido será entre esses dois pontos problemáticos.

Passo 6

Portanto, o intervalo onde a solução da equação diferencial certamente existe é o intervalo aberto entre 0 e 4, ou seja:

Resposta

O intervalo no qual a solução do problema certamente existe é .

Exercícios relacionados