Em cada um dos Problemas de 1 a 6, determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial:
O objetivo é determinar um intervalo onde a solução dessa equação certamente existe. Para isso, vamos usar o conteúdo de Teoria das Equações Diferenciais, especificamente o Teorema de Existência e Unicidade. Precisaremos verificar onde os coeficientes da equação são contínuos.
Passo 2
Vamos reescrever a equação para facilitar a análise. A equação dada pode ser arrumada para isolar
:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade, precisamos que as funções
e
sejam contínuas no intervalo considerado. Vamos verificar onde
é contínuo.
Passo 4
A função
será contínua exceto nos pontos onde o denominador é zero, ou seja, quando:
Portanto,
não é contínua em
e
.
Passo 5
Como a condição inicial é em
, precisamos de um intervalo que inclua esse ponto e que não contenha os valores onde
não é contínua (0 e 4). Assim, o intervalo válido será entre esses dois pontos problemáticos.
Passo 6
Portanto, o intervalo onde a solução da equação diferencial certamente existe é o intervalo aberto entre 0 e 4, ou seja:
Resposta
O intervalo no qual a solução do problema certamente existe é
.
Exercícios relacionados
(a)
Calcule as seguintes integrais:
4.
4.
Em cada um dos Problemas de 1 a 32 , resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução.
10.
10.