Em cada um dos Problemas de 1 a 6, determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe.
-t^2 y' + 2t y = 3t^2, y(1) = -3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você me enviou é o seguinte:
O objetivo aqui é determinar um intervalo no qual a solução dessa equação diferencial de valor inicial certamente existe, sem realmente resolver a equação. Para isso, vamos usar alguns conceitos de teoria de equações diferenciais, especificamente o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema nos ajuda a saber onde podemos garantir que uma solução existe e é única, baseado na continuidade das funções envolvidas na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem:
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por (assumindo que t != 0):
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, precisamos verificar onde as funções P(t) e Q(t) são contínuas. A continuidade dessas funções é crucial para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade, que garante que exista uma solução única no intervalo onde P(t) e Q(t) são contínuas.
Analisando :
  • A função é contínua para todos os t onde t != 0.
E para :
  • A função é polinomial, então é contínua para todo t.

Passo 4

Além da continuidade de P(t) e Q(t), precisamos considerar o ponto inicial fornecido, que é . Nosso intervalo de existência deve incluir esse ponto. Observando que está longe de , onde P(t) não é contínuo, podemos escolher um intervalo que não inclua .

Passo 5

Portanto, combinando essas informações, o intervalo no qual temos certeza de que a solução existe e é única deve ser um intervalo aberto que contém e não inclui . Um intervalo simples que atende a esses critérios é:

Resposta

A solução da equação diferencial dada certamente existe e é única para todo intervalo onde t é positivo, ou seja, para .

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