Em cada um dos Problemas de 1 a 6, determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que você me enviou é o seguinte:
O objetivo aqui é determinar um intervalo no qual a solução dessa equação diferencial de valor inicial certamente existe, sem realmente resolver a equação. Para isso, vamos usar alguns conceitos de teoria de equações diferenciais, especificamente o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema nos ajuda a saber onde podemos garantir que uma solução existe e é única, baseado na continuidade das funções envolvidas na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem:
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por
(assumindo que
):
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, precisamos verificar onde as funções
e
são contínuas. A continuidade dessas funções é crucial para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade, que garante que exista uma solução única no intervalo onde
e
são contínuas.
Analisando
:
- A função é contínua para todos os
onde .
E para
:
- A função é polinomial, então é contínua para todo
.
Passo 4
Além da continuidade de
e
, precisamos considerar o ponto inicial fornecido, que é
. Nosso intervalo de existência deve incluir esse ponto. Observando que
está longe de
, onde
não é contínuo, podemos escolher um intervalo que não inclua
.
Passo 5
Portanto, combinando essas informações, o intervalo no qual temos certeza de que a solução existe e é única deve ser um intervalo aberto que contém
e não inclui
. Um intervalo simples que atende a esses critérios é:
Resposta
A solução da equação diferencial dada certamente existe e é única para todo intervalo onde
é positivo, ou seja, para
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos Problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.
Em cada um dos Problemas de 1 a 32 , resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução.
20.
20.
Derive.
Derive.