Em cada um dos Problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.

Passo 1

Beleza, então vamos resolver a equação diferencial . O que isso significa? Basicamente, temos uma relação entre a derivada de em relação a e uma expressão que envolve sozinho. Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para equações onde podemos separar os termos que envolvem dos que envolvem .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar :
Aqui, representa a derivada de em relação a . Nosso objetivo é separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por e dividimos por para conseguir separar os termos.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve , e a do lado direito envolve :

Passo 5

Vamos resolver as integrais separadamente. A integral do lado esquerdo é uma forma conhecida:
E a integral do lado direito é:
Onde e são constantes de integração.

Passo 6

Igualando as duas expressões integradas, temos:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Passo 7

Para isolar , vamos aplicar a função seno em ambos os lados:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante de integração.

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