Em cada um dos Problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, então vamos resolver a equação diferencial
. O que isso significa? Basicamente, temos uma relação entre a derivada de
em relação a
e uma expressão que envolve
sozinho. Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para equações onde podemos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar
:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Nosso objetivo é separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por
e dividimos por
para conseguir separar os termos.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve
, e a do lado direito envolve
:
Passo 5
Vamos resolver as integrais separadamente. A integral do lado esquerdo é uma forma conhecida:
E a integral do lado direito é:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 6
Igualando as duas expressões integradas, temos:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 7
Para isolar
, vamos aplicar a função seno em ambos os lados:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante de integração.
Exercícios relacionados
Em cada um dos Problemas de 1 a 32 , resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução.
20.
20.
Em cada um dos Problemas de 1 a 6, determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe.
Derive.