Em cada um dos Problemas de 1 a 32 , resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Isso entra na matéria de Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata, encontrar uma função que satisfaça a equação e, por fim, aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata!
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar uma função
tal que:
Primeiro, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 5
Assim, a função
fica:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial
é:
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. O fornecedor oferece a seguinte condição de pagamento: entrada de
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R:
R:
Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível.
Em cada um dos Problemas de 1 a 32 , resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução.
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R:
R: