Em cada um dos Problemas de 1 a 32 , resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução.
14.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial com a condição inicial . Isso entra na matéria de Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata, encontrar uma função que satisfaça a equação e, por fim, aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata!

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar uma função tal que:
Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 4

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Onde é uma constante de integração.

Passo 5

Assim, a função fica:
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial é:

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R:
Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível.
Em cada um dos Problemas de 1 a 32 , resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução.
24.
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R: