Em cada um dos Problemas de 1 a 32 , resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução.
24. 2 sen(y) sen(x) cos(x) dx + cos(y) sen^2(x) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me enviou:
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, a gente vai precisar verificar se ela é exata e, se for, encontrar uma função que a satisfaça. Se não for exata, a gente pode precisar de um fator integrante. Mas calma, vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Podemos escrever a equação na forma:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como vemos, , o que significa que a equação é exata. Isso é bom porque facilita nossa vida na hora de resolver.

Passo 4

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Note que pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
Então:
Onde é uma função de que aparece pela integração.

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a e igualar a :
Igualando as duas expressões:

Passo 7

Simplificando a equação acima para encontrar :
Lembrando que , substituímos:
Cancelando termos iguais:

Passo 8

Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Agora, temos a função :
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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