Em cada um dos Problemas de 1 a 32 , resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me enviou:
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, a gente vai precisar verificar se ela é exata e, se for, encontrar uma função que a satisfaça. Se não for exata, a gente pode precisar de um fator integrante. Mas calma, vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Podemos escrever a equação na forma:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como vemos,
, o que significa que a equação é exata. Isso é bom porque facilita nossa vida na hora de resolver.
Passo 4
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Note que pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
Então:
Onde
é uma função de
que aparece pela integração.
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
e igualar a
:
Igualando as duas expressões:
Passo 7
Simplificando a equação acima para encontrar
:
Lembrando que , substituímos:
Cancelando termos iguais:
Passo 8
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, temos a função
:
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica :
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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R:
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