Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível. y = raiz(tg^(-1) x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Aqui estamos lidando com derivadas, especificamente a derivada de uma função composta. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é super útil quando a gente tem uma função dentro de outra.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de um jeito que fique mais fácil de derivar. A raiz quadrada é a mesma coisa que elevar a função ao expoente de . Então, nossa função fica assim:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. Isso significa que vamos derivar a função externa e depois multiplicar pela derivada da função interna. A regra da cadeia é usada quando temos uma função dentro de outra, como no nosso caso.

Passo 4

Primeiro, derivamos a função externa. Se temos , a derivada em relação a é:
No nosso caso, , então a derivada da função externa é:

Passo 5

Agora, vamos derivar a função interna . A derivada de em relação a é:

Passo 6

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia multiplicando a derivada da função externa pela derivada da função interna:
Podemos simplificar um pouquinho mais, escrevendo a raiz no denominador:

Resposta

A derivada da função é:

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