Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada: ty'' + (t^2 - 1)y' + t^3y = 0, 0 < t < infinito

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo:
Estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes que dependem de . Nosso objetivo é transformar essa equação em uma com coeficientes constantes usando o método mencionado no Problema 32. Para isso, vamos precisar de conhecimento sobre mudanças de variável e métodos para resolver equações de coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, para facilitar, vamos dividir toda a equação por (já que ):
Agora, observamos que os coeficientes ainda dependem de . Para transformar isso em uma equação com coeficientes constantes, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir uma nova variável relacionada a . Uma boa estratégia é tentar eliminar o termo que multiplica .

Passo 3

Vamos usar uma substituição que simplifique a equação. Vamos definir:
Então, precisamos expressar as derivadas de em termos de . Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Dividindo toda a equação por para simplificar:
Agora, temos uma equação diferencial com coeficientes constantes:

Passo 6

Vamos resolver essa equação característica. Assumimos uma solução do tipo , substituindo na equação:
Dividindo por :
Resolvendo a equação quadrática para :

Passo 7

As soluções são complexas, então a solução geral para em termos de é:
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da equação dada é:
onde e são constantes arbitrárias.

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