Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo:
Estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes que dependem de
. Nosso objetivo é transformar essa equação em uma com coeficientes constantes usando o método mencionado no Problema 32. Para isso, vamos precisar de conhecimento sobre mudanças de variável e métodos para resolver equações de coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, para facilitar, vamos dividir toda a equação por
(já que
):
Agora, observamos que os coeficientes ainda dependem de
. Para transformar isso em uma equação com coeficientes constantes, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir uma nova variável
relacionada a
. Uma boa estratégia é tentar eliminar o termo que multiplica
.
Passo 3
Vamos usar uma substituição que simplifique a equação. Vamos definir:
Então, precisamos expressar as derivadas de
em termos de
. Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Substituindo essas expressões na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Dividindo toda a equação por
para simplificar:
Agora, temos uma equação diferencial com coeficientes constantes:
Passo 6
Vamos resolver essa equação característica. Assumimos uma solução do tipo
, substituindo na equação:
Dividindo por
:
Resolvendo a equação quadrática para
:
Passo 7
As soluções são complexas, então a solução geral para
em termos de
é:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação dada é:
onde
e
são constantes arbitrárias.