Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo:
Estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes que dependem de . Nosso objetivo é transformar essa equação em uma com coeficientes constantes usando o método mencionado no Problema 32. Para isso, vamos precisar de conhecimento sobre mudanças de variável e métodos para resolver equações de coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, para facilitar, vamos dividir toda a equação por (já que ):
Agora, observamos que os coeficientes ainda dependem de . Para transformar isso em uma equação com coeficientes constantes, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir uma nova variável relacionada a . Uma boa estratégia é tentar eliminar o termo que multiplica .

Passo 3

Vamos usar uma substituição que simplifique a equação. Vamos definir:
Então, precisamos expressar as derivadas de em termos de . Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Dividindo toda a equação por para simplificar:
Agora, temos uma equação diferencial com coeficientes constantes:

Passo 6

Vamos resolver essa equação característica. Assumimos uma solução do tipo , substituindo na equação:
Dividindo por :
Resolvendo a equação quadrática para :

Passo 7

As soluções são complexas, então a solução geral para em termos de é:
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da equação dada é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Determine uma parametrização para as seguintes curvas:
a.
b. e
c. e
d. e .
Calcule as integrais:
.
Neste exercício vamos explicitar as soluções da equação da onda unidimensional, ou seja, determinar funções , de classe , tais que , onde . Este método foi descrito por Jean le Rond da. Mostre que a mudança de coordenadas e permite escrever a equação da onda na forma .
b. Determine todas as soluções de , concluindo que as soluções da equação original são da forma , onde e são funções reais duas vezes deriváveis.
A função de produção de certa mercadoria tem valores funcionais
As quantidades de dois fatores são dadas por e , cujos preços po unidade são, respectivamente, 84 e 88 , e a quantidade produzida é dada por , cujo preço por unidade é . Determine o lucro total máximo.