Neste exercício vamos explicitar as soluções da equação da onda unidimensional, ou seja, determinar funções
, de classe
, tais que
, onde
. Este método foi descrito por Jean le Rond da. Mostre que a mudança de coordenadas
e
permite escrever a equação da onda na forma
.
b. Determine todas as soluções de
, concluindo que as soluções da equação original são da forma
, onde
e
são funções reais duas vezes deriváveis.
b. Determine todas as soluções de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a equação da onda unidimensional. O objetivo aqui é encontrar funções
que satisfaçam a equação
, onde
é uma constante diferente de zero. Para isso, vamos usar uma mudança de coordenadas específica e mostrar que, nessa nova forma, podemos encontrar todas as soluções da equação original. Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e mudanças de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa fazer uma mudança de coordenadas. Queremos transformar as variáveis
e
em novas variáveis
e
de modo que a equação da onda se simplifique. A mudança proposta é:
Isso basicamente combina
e
de forma a facilitar a resolução da equação.
Passo 3
Agora, precisamos expressar as derivadas
e
em termos das novas coordenadas
e
. Para isso, usamos a regra da cadeia para derivadas parciais.
Primeiro, calculemos as derivadas de
em relação a
e
:
O mesmo fazemos para
:
Passo 4
Substituindo
e
na equação da onda original
, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Para que essa igualdade seja válida para qualquer
e
, precisamos que os coeficientes das derivadas sejam zero. Isso nos leva à equação simplificada:
Passo 5
Agora que temos a equação
, vamos determinar todas as soluções possíveis para essa equação. Quando a segunda derivada mista de uma função é zero, isso significa que a função pode ser escrita como a soma de duas funções, cada uma dependendo apenas de uma das variáveis.
Então, podemos escrever:
Onde
e
são funções que dependem exclusivamente de
e
, respectivamente, e são duas vezes diferenciáveis.
Passo 6
Agora, vamos retornar às coordenadas originais
e
. Lembrando que:
Substituindo essas expressões na solução que encontramos:
Isso significa que as soluções da equação da onda são a soma de duas ondas que se movem em direções opostas com velocidade
.
Resposta
Portanto, todas as soluções da equação original da onda unidimensional são da forma:
Onde
e
são funções reais duas vezes deriváveis.