Neste exercício vamos explicitar as soluções da equação da onda unidimensional, ou seja, determinar funções u: A ⊆ R^2 → R, de classe C^2, tais que u_tt = c^2 u_xx, onde c em R \ {0}. Este método foi descrito por Jean le Rond da. Mostre que a mudança de coordenadas xi = x - c t e eta = x + c t permite escrever a equação da onda na forma u_tilde_xi_eta = 0.
b. Determine todas as soluções de u_tilde_xi_eta = 0, concluindo que as soluções da equação original são da forma u(x, t) = f(x - c * t) + g(x + c * t), onde f e g são funções reais duas vezes deriváveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a equação da onda unidimensional. O objetivo aqui é encontrar funções que satisfaçam a equação , onde é uma constante diferente de zero. Para isso, vamos usar uma mudança de coordenadas específica e mostrar que, nessa nova forma, podemos encontrar todas as soluções da equação original. Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e mudanças de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa fazer uma mudança de coordenadas. Queremos transformar as variáveis e em novas variáveis e de modo que a equação da onda se simplifique. A mudança proposta é:
Isso basicamente combina e de forma a facilitar a resolução da equação.

Passo 3

Agora, precisamos expressar as derivadas e em termos das novas coordenadas e . Para isso, usamos a regra da cadeia para derivadas parciais.
Primeiro, calculemos as derivadas de em relação a e :
O mesmo fazemos para :

Passo 4

Substituindo e na equação da onda original , temos:
Dividindo ambos os lados por :
Para que essa igualdade seja válida para qualquer e , precisamos que os coeficientes das derivadas sejam zero. Isso nos leva à equação simplificada:

Passo 5

Agora que temos a equação , vamos determinar todas as soluções possíveis para essa equação. Quando a segunda derivada mista de uma função é zero, isso significa que a função pode ser escrita como a soma de duas funções, cada uma dependendo apenas de uma das variáveis.
Então, podemos escrever:
Onde e são funções que dependem exclusivamente de e , respectivamente, e são duas vezes diferenciáveis.

Passo 6

Agora, vamos retornar às coordenadas originais e . Lembrando que:
Substituindo essas expressões na solução que encontramos:
Isso significa que as soluções da equação da onda são a soma de duas ondas que se movem em direções opostas com velocidade .

Resposta

Portanto, todas as soluções da equação original da onda unidimensional são da forma:
Onde e são funções reais duas vezes deriváveis.

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