Calcule as integrais:
.

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de . Esse exercício faz parte do estudo de integrais no cálculo, e vamos usar a técnica de substituição para resolver. Precisamos identificar uma parte da função que, ao ser substituída, facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a função dentro do seno: . Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Queremos expressar em termos de . Reorganizando a equação anterior:

Passo 5

Substituímos e na integral original:

Passo 6

A integral de em relação a é . Então:

Passo 7

Voltamos à variável original substituindo de volta:

Passo 8

Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, vamos aplicar os limites de integração:
Para :
Para :

Passo 9

Avaliando a expressão nos limites:

Resposta

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Considere a seguinte economia de Bodocongó: Considerando que o Governo esteja estudando promover políticas de expansão da renda. As alternativas em estudo comportam as seguintes políticas: a) expansão dos gastos públicos, tal que ; b) redução dos impostos, tal que ; c) desvalorização cambial, tal que . Determine os novos níveis de renda, do saldo orçamentário do governo e do saldo da Balança Comercial, como resultado de cada uma das políticas propostas.
(d)
Determine uma parametrização para as seguintes curvas:
a.
b. e
c. e
d. e .
Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada: