Calcule as integrais:
integral0^1 x sin (1+2 x^2) d x.

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de . Esse exercício faz parte do estudo de integrais no cálculo, e vamos usar a técnica de substituição para resolver. Precisamos identificar uma parte da função que, ao ser substituída, facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a função dentro do seno: u = 1 + 2x^2 . Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 4x Rightarrow du = 4x , dx em relação a :

Passo 4

Queremos expressar x , dx = du4 em termos de . Reorganizando a equação anterior:

Passo 5

Substituímos integral0^1 x sin (1 + 2x^2) dx = integral sin(u) cdot du4 e = 14 integral sin(u) , du na integral original:

Passo 6

A integral de 14 integral sin(u) , du = -14 cos(u) + C em relação a é . Então:

Passo 7

Voltamos à variável original -14 cos(1 + 2x^2) + C substituindo de volta:

Passo 8

Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, vamos aplicar os limites de integração:
Para u = 1 + 2(1)^2 = 3 :
u = 1 + 2(0)^2 = 1
Para :

Passo 9

Avaliando a expressão nos limites:
-14 cos(3) + 14 cos(1) = cos(1) - cos(3)4

Resposta

integral0^1 x sin (1 + 2x^2) dx = cos(1) - cos(3)4

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