Calcule as integrais:
.
Passo 1
Vamos calcular a integral definida de
. Esse exercício faz parte do estudo de integrais no cálculo, e vamos usar a técnica de substituição para resolver. Precisamos identificar uma parte da função que, ao ser substituída, facilite a integração.
Passo 2
Primeiro, olhamos para a função dentro do seno:
. Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Queremos expressar
em termos de
. Reorganizando a equação anterior:
Passo 5
Substituímos
e
na integral original:
Passo 6
A integral de
em relação a
é
. Então:
Passo 7
Voltamos à variável original
substituindo
de volta:
Passo 8
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, vamos aplicar os limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 9
Avaliando a expressão nos limites:
Resposta
Exercícios relacionados
Considere a seguinte economia de Bodocongó: Considerando que o Governo esteja estudando promover políticas de expansão da renda. As alternativas em estudo comportam as seguintes políticas: a) expansão dos gastos públicos, tal que
; b) redução dos impostos, tal que
; c) desvalorização cambial, tal que
. Determine os novos níveis de renda, do saldo orçamentário do governo e do saldo da Balança Comercial, como resultado de cada uma das políticas propostas.
(d)
Determine uma parametrização para as seguintes curvas:
a.
b. e
c. e
d. e
.
a.
b.
c.
d.
Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada: