Calcule as integrais:
.
Passo 1
Vamos calcular a integral definida de
. Esse exercício faz parte do estudo de integrais no cálculo, e vamos usar a técnica de substituição para resolver. Precisamos identificar uma parte da função que, ao ser substituída, facilite a integração.
Passo 2
Primeiro, olhamos para a função dentro do seno:
. Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Queremos expressar
em termos de
. Reorganizando a equação anterior:
Passo 5
Substituímos
e
na integral original:
Passo 6
A integral de
em relação a
é
. Então:
Passo 7
Voltamos à variável original
substituindo
de volta:
Passo 8
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, vamos aplicar os limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 9
Avaliando a expressão nos limites: