A função de produção
de certa mercadoria tem valores funcionais
As quantidades de dois fatores são dadas por
e
, cujos preços po unidade são, respectivamente, 84 e 88 , e a quantidade produzida é dada por
, cujo preço por unidade é
. Determine o lucro total máximo.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o problema pede e o que vamos precisar para resolvê-lo.
Enunciado resumido:
Temos uma função de produção . As quantidades dos fatores são
e
, com preços por unidade de 84 e 88, respectivamente. A quantidade produzida é
com preço por unidade de 16. Queremos determinar o lucro total máximo.
Temos uma função de produção
Conteúdo da matéria:
Vamos trabalhar com funções de produção e otimização de lucro. Precisamos usar cálculo para encontrar os valores de e
que maximizam o lucro.
Vamos trabalhar com funções de produção e otimização de lucro. Precisamos usar cálculo para encontrar os valores de
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o lucro. O lucro total é dado pela diferença entre a receita total e o custo total.
Fórmula do Lucro:
Passo 3
Vamos calcular a Receita Total. A receita é obtida vendendo a quantidade produzida pelo preço unitário.
Dado que a quantidade produzida é
e o preço por unidade é 16, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o Custo Total. O custo vem dos insumos
e
.
Os custos são:
Passo 5
Substituímos
pela função de produção
. Sabemos que:
Portanto:
Passo 6
Agora, substituímos
na Receita Total:
Passo 7
Agora podemos escrever a função de lucro em termos de
e
:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão do lucro:
Passo 9
Para maximizar o lucro, precisamos encontrar os valores de
e
que tornam o lucro máximo. Isso envolve derivar a função de lucro em relação a
e
e igualar a zero.
Derivadas Parciais:
Passo 10
Resolvendo as equações derivadas:
Para
:
Para
:
Passo 11
Obtemos valores negativos para
e
, o que não faz sentido no contexto de quantidades de produção. Isso sugere que houve algum erro na modelagem ou nos cálculos. Vamos revisar os passos anteriores.
Passo 12
Revisando a expressão do lucro, percebemos que houve um erro na substituição de
. Vamos reconsiderar a relação
.
Na verdade,
, então:
Substituindo na Receita Total:
Custo Total:
Função de Lucro:
Passo 13
Observando novamente, parece que os custos são muito grandes comparados à receita, o que resulta em lucro negativo. Isso pode indicar que não há ponto de equilíbrio ou lucro positivo com os valores fornecidos.
Passo 14
Concluímos que, com os dados fornecidos, não é possível obter um lucro positivo, pois os custos dos insumos superam a receita gerada pela produção.
Resposta
Não é possível obter um lucro total positivo com os valores fornecidos, pois os custos dos insumos superam a receita gerada pela produção.