A função de produção f de certa mercadoria tem valores funcionais
f(x, y) = x + 5/2 * y - 1/8 * x^2 - 1/4 * y^2 - 9/8
As quantidades de dois fatores são dadas por 100 x e 100 y, cujos preços po unidade são, respectivamente, 84 e 88 , e a quantidade produzida é dada por 100 z, cujo preço por unidade é \$. Determine o lucro total máximo.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o problema pede e o que vamos precisar para resolvê-lo.
Enunciado resumido:
Temos uma função de produção . As quantidades dos fatores são e , com preços por unidade de 84 e 88, respectivamente. A quantidade produzida é com preço por unidade de 16. Queremos determinar o lucro total máximo.
Conteúdo da matéria:
Vamos trabalhar com funções de produção e otimização de lucro. Precisamos usar cálculo para encontrar os valores de e que maximizam o lucro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o lucro. O lucro total é dado pela diferença entre a receita total e o custo total.
Fórmula do Lucro:

Passo 3

Vamos calcular a Receita Total. A receita é obtida vendendo a quantidade produzida pelo preço unitário.
Dado que a quantidade produzida é e o preço por unidade é 16, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o Custo Total. O custo vem dos insumos e .
Os custos são:

Passo 5

Substituímos pela função de produção . Sabemos que:
Portanto:

Passo 6

Agora, substituímos na Receita Total:

Passo 7

Agora podemos escrever a função de lucro em termos de e :

Passo 8

Vamos simplificar a expressão do lucro:

Passo 9

Para maximizar o lucro, precisamos encontrar os valores de e que tornam o lucro máximo. Isso envolve derivar a função de lucro em relação a e e igualar a zero.
Derivadas Parciais:

Passo 10

Resolvendo as equações derivadas:
Para :
Para :

Passo 11

Obtemos valores negativos para e , o que não faz sentido no contexto de quantidades de produção. Isso sugere que houve algum erro na modelagem ou nos cálculos. Vamos revisar os passos anteriores.

Passo 12

Revisando a expressão do lucro, percebemos que houve um erro na substituição de . Vamos reconsiderar a relação .
Na verdade, , então:
Substituindo na Receita Total:
Custo Total:
Função de Lucro:

Passo 13

Observando novamente, parece que os custos são muito grandes comparados à receita, o que resulta em lucro negativo. Isso pode indicar que não há ponto de equilíbrio ou lucro positivo com os valores fornecidos.

Passo 14

Concluímos que, com os dados fornecidos, não é possível obter um lucro positivo, pois os custos dos insumos superam a receita gerada pela produção.

Resposta

Não é possível obter um lucro total positivo com os valores fornecidos, pois os custos dos insumos superam a receita gerada pela produção.

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