Determine uma parametrização para as seguintes curvas:
a.
b.
e
c.
e
d.
e
.
a.
b.
c.
d.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte a do exercício. O enunciado pede para a gente encontrar uma parametrização para a curva definida por:
Aqui, estamos lidando com geometria no espaço tridimensional. Para parametrizar, precisamos expressar
,
e
em função de um parâmetro, geralmente
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que definem a curva:
-
– Isso relaciona , e . -
– Isso relaciona diretamente com .
Nossa ideia é usar uma das variáveis como parâmetro. Vamos escolher
, pois assim podemos expressar
diretamente e depois encontrar
em função de
.
Passo 3
Começamos definindo:
Com isso, usando a segunda equação
, temos:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Vamos isolar
:
Passo 4
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Note que
pode ser positivo ou negativo, ent��o temos:
No entanto, para simplificar, podemos escolher apenas a solução positiva ou negativa, dependendo do contexto. Vamos optar pela positiva:
Passo 5
Agora, juntando tudo, nossa parametrização fica:
Onde
é o parâmetro que varia sobre um intervalo que faz sentido para as raízes de
, ou seja,
. Resolvendo:
Então,
.
Resposta
Uma parametrização para a curva é: