Determine uma parametrização para as seguintes curvas:
a. C = {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 = z e z = 2y}
b. C = {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 = 9} e 4x + 4y = z^2, z ≥ 0
c. C = {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 + z = 1} e 2x + 2y + z = 1
d. C = {(x, y, z) in R^3: x > 0, x^2 + y^2 - z^2 = 4} e z = x + y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte a do exercício. O enunciado pede para a gente encontrar uma parametrização para a curva definida por:
Aqui, estamos lidando com geometria no espaço tridimensional. Para parametrizar, precisamos expressar , e em função de um parâmetro, geralmente .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que definem a curva:
  1. – Isso relaciona , e .
  2. – Isso relaciona diretamente com .
Nossa ideia é usar uma das variáveis como parâmetro. Vamos escolher , pois assim podemos expressar diretamente e depois encontrar em função de .

Passo 3

Começamos definindo:
Com isso, usando a segunda equação , temos:
Agora, substituímos na primeira equação:
Vamos isolar :

Passo 4

Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Note que pode ser positivo ou negativo, ent��o temos:
No entanto, para simplificar, podemos escolher apenas a solução positiva ou negativa, dependendo do contexto. Vamos optar pela positiva:

Passo 5

Agora, juntando tudo, nossa parametrização fica:
Onde é o parâmetro que varia sobre um intervalo que faz sentido para as raízes de , ou seja, . Resolvendo:
Então, .

Resposta

Uma parametrização para a curva é:

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