Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada:
Passo 1
Então, a gente tem a seguinte equação diferencial:
O objetivo aqui é tentar transformar essa equação com coeficientes que dependem de
em uma equação com coeficientes constantes, usando o método do Problema 32. Se conseguirmos fazer essa transformação, vamos encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter coeficientes constantes na equação diferencial. Uma equação com coeficientes constantes tem a forma:
onde
e
são números constantes. Resolver esse tipo de equação é mais simples porque temos fórmulas prontas para encontrar as soluções.
Passo 3
Agora, para transformar a nossa equação original em uma com coeficientes constantes, precisamos encontrar uma mudança de variável que elimine o termo que depende de
.
Vamos tentar uma substituição da forma:
Essa escolha visa simplificar a equação ao eliminar o termo com
.
Passo 4
Calculando as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 6
Observando os termos, vemos que muitos se cancelam:
-
-
-
permanece
Então, a equação simplificada fica:
Passo 7
Podemos dividir toda a equação por
para simplificar:
Agora, tentamos ver se conseguimos uma equação com coeficientes constantes, mas ainda temos termos que dependem de
.
Passo 8
Percebemos que, mesmo após a substituição, a equação ainda possui coeficientes que dependem de
. Isso indica que, com essa mudança de variável, não conseguimos eliminar os termos dependentes de
para obter uma equação com coeficientes constantes.
Passo 9
Como não conseguimos transformar a equação original em uma com coeficientes constantes usando a substituição proposta, concluímos que essa transformação específica não é viável para resolver o problema.
Resposta
Não é possível transformar a equação diferencial dada em uma com coeficientes constantes usando o método proposto. Portanto, a solução geral deve ser encontrada por outros métodos.
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.
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e
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