Em cada um dos Problemas 33 a 36, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 32. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada: y'' + 3ty' + t^2y = 0, -inf < t < inf

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte equação diferencial:
O objetivo aqui é tentar transformar essa equação com coeficientes que dependem de em uma equação com coeficientes constantes, usando o método do Problema 32. Se conseguirmos fazer essa transformação, vamos encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter coeficientes constantes na equação diferencial. Uma equação com coeficientes constantes tem a forma:
onde e são números constantes. Resolver esse tipo de equação é mais simples porque temos fórmulas prontas para encontrar as soluções.

Passo 3

Agora, para transformar a nossa equação original em uma com coeficientes constantes, precisamos encontrar uma mudança de variável que elimine o termo que depende de .
Vamos tentar uma substituição da forma:
Essa escolha visa simplificar a equação ao eliminar o termo com .

Passo 4

Calculando as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Substituindo , e na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 6

Observando os termos, vemos que muitos se cancelam:
  • permanece
Então, a equação simplificada fica:

Passo 7

Podemos dividir toda a equação por para simplificar:
Agora, tentamos ver se conseguimos uma equação com coeficientes constantes, mas ainda temos termos que dependem de .

Passo 8

Percebemos que, mesmo após a substituição, a equação ainda possui coeficientes que dependem de . Isso indica que, com essa mudança de variável, não conseguimos eliminar os termos dependentes de para obter uma equação com coeficientes constantes.

Passo 9

Como não conseguimos transformar a equação original em uma com coeficientes constantes usando a substituição proposta, concluímos que essa transformação específica não é viável para resolver o problema.

Resposta

Não é possível transformar a equação diferencial dada em uma com coeficientes constantes usando o método proposto. Portanto, a solução geral deve ser encontrada por outros métodos.

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