Em cada um dos problemas abaixo, determine o maior intervalo no qual o PVI dado certamente tem uma única solução. Não encontre a solução.
t(t-4) y'' + 3t y' + 4y = 2, y(3) = 0, y'(3) = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o maior intervalo onde o Problema de Valor Inicial (PVI) tem uma única solução. O PVI dado é:
Vamos precisar usar os conceitos de equações diferenciais ordinárias e as condições de existência e unicidade das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão. Pra isso, precisamos isolar o termo com :
Simplificando os coeficientes:

Passo 3

Agora, vamos analisar onde os coeficientes da equação são contínuos. Isso é importante porque, segundo o Teorema de Existência e Unicidade, se os coeficientes forem contínuos em um intervalo que contém o ponto inicial, então há uma solução única nesse intervalo.
Os coeficientes são:

Passo 4

Vamos identificar os valores de que tornam os coeficientes descontínuos:
  1. (porque o denominador se anula)
  2. (porque o denominador se anula)
Esses são os pontos onde a função não é contínua.

Passo 5

Sabendo disso, o intervalo onde os coeficientes são contínuos é dividido pelas singularidades em e .
Como o ponto inicial é , que está entre 0 e 4, o maior intervalo contínuo que contém 3 é .

Resposta

O maior intervalo no qual o PVI possui uma única solução é .

Exercícios relacionados