Em cada um dos problemas abaixo, determine o maior intervalo no qual o PVI dado certamente tem uma única solução. Não encontre a solução.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o maior intervalo onde o Problema de Valor Inicial (PVI) tem uma única solução. O PVI dado é:
Vamos precisar usar os conceitos de equações diferenciais ordinárias e as condições de existência e unicidade das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão. Pra isso, precisamos isolar o termo com
:
Simplificando os coeficientes:
Passo 3
Agora, vamos analisar onde os coeficientes da equação são contínuos. Isso é importante porque, segundo o Teorema de Existência e Unicidade, se os coeficientes forem contínuos em um intervalo que contém o ponto inicial, então há uma solução única nesse intervalo.
Os coeficientes são:
Passo 4
Vamos identificar os valores de
que tornam os coeficientes descontínuos:
-
(porque o denominador se anula) -
(porque o denominador se anula)
Esses são os pontos onde a função não é contínua.
Passo 5
Sabendo disso, o intervalo onde os coeficientes são contínuos é dividido pelas singularidades em
e
.
Como o ponto inicial é
, que está entre 0 e 4, o maior intervalo contínuo que contém 3 é
.
Resposta
O maior intervalo no qual o PVI possui uma única solução é
.