Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o interior de , o fecho de , o conjunto derivado de e a fronteira de , onde é igual a (toda a linha dos números reais). Para isso, vamos usar conceitos de topologia, que é um ramo da matemática que estuda as propriedades dos espaços que são preservadas através de deformações contínuas. Vamos precisar entender o que são interior, fecho, conjunto derivado e fronteira de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o interior de um conjunto. O interior de , denotado por , é o maior conjunto aberto que está contido em . No caso de , que já é aberto na topologia usual dos números reais, o interior de é ele mesmo. Então:

Passo 3

Agora, vamos para o fecho de , representado por . O fecho de um conjunto inclui todos os pontos de e seus pontos de acumulação (limites). Como é um conjunto fechado na topologia usual (isto é, ele contém todos os seus pontos de limite), o fecho de também é :

Passo 4

Vamos entender o conjunto derivado de , denotado por . O conjunto derivado é formado por todos os pontos de acumulação de . Como é denso em si mesmo, todos os pontos são pontos de acumulação. Portanto:

Passo 5

Por fim, vamos determinar a fronteira de , que é representada por . A fronteira é o conjunto dos pontos que estão na borda de , ou seja, pontos que estão tanto no fecho de quanto no fecho do complementar de . No caso de , que é o espaço todo, o complementar é o conjunto vazio, cujo fecho também é vazio. Assim, a fronteira de é vazia:

Resposta

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