Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o interior de
, o fecho de
, o conjunto derivado de
e a fronteira de
, onde
é igual a
(toda a linha dos números reais). Para isso, vamos usar conceitos de topologia, que é um ramo da matemática que estuda as propriedades dos espaços que são preservadas através de deformações contínuas. Vamos precisar entender o que são interior, fecho, conjunto derivado e fronteira de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o interior de um conjunto. O interior de
, denotado por
, é o maior conjunto aberto que está contido em
. No caso de
, que já é aberto na topologia usual dos números reais, o interior de
é ele mesmo. Então:
Passo 3
Agora, vamos para o fecho de
, representado por
. O fecho de um conjunto inclui todos os pontos de
e seus pontos de acumulação (limites). Como
é um conjunto fechado na topologia usual (isto é, ele contém todos os seus pontos de limite), o fecho de
também é
:
Passo 4
Vamos entender o conjunto derivado de
, denotado por
. O conjunto derivado é formado por todos os pontos de acumulação de
. Como
é denso em si mesmo, todos os pontos são pontos de acumulação. Portanto:
Passo 5
Por fim, vamos determinar a fronteira de
, que é representada por
. A fronteira é o conjunto dos pontos que estão na borda de
, ou seja, pontos que estão tanto no fecho de
quanto no fecho do complementar de
. No caso de
, que é o espaço todo, o complementar é o conjunto vazio, cujo fecho também é vazio. Assim, a fronteira de
é vazia:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine um
para
, tal que
Para cada funçào
sào dados
Se todos os pontos do conjunto infinito
são isolados, mostre que
é enumerável.
Uma doença esta se disseminando de tal forma que, após
semanas, o número de pessoas infectadas é dada por
Determine:
b) Suponha que as autoridades sanitárias declarem que uma doença atingiu proporções epidêmicas quando taxa de varaiação percentual do número de pessoas infectadas ultrapassa . Qual é o periodo de tempo no qual esse critério é satisfeito?
b) Suponha que as autoridades sanitárias declarem que uma doença atingiu proporções epidêmicas quando taxa de varaiação percentual do número de pessoas infectadas ultrapassa
Em cada um dos problemas abaixo, determine o maior intervalo no qual o PVI dado certamente tem uma única solução. Não encontre a solução.
.