Uma doença esta se disseminando de tal forma que, após
semanas, o número de pessoas infectadas é dada por
Determine:
b) Suponha que as autoridades sanitárias declarem que uma doença atingiu proporções epidêmicas quando taxa de varaiação percentual do número de pessoas infectadas ultrapassa
. Qual é o periodo de tempo no qual esse critério é satisfeito?
b) Suponha que as autoridades sanitárias declarem que uma doença atingiu proporções epidêmicas quando taxa de varaiação percentual do número de pessoas infectadas ultrapassa
Passo 1
Então, vamos lá! Recebemos um problema sobre a disseminação de uma doença. A equação que nos dá o número de pessoas infectadas após
semanas é:
Queremos descobrir em qual período de tempo a taxa de variação percentual do número de pessoas infectadas ultrapassa
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar a taxa de variação, e depois relacionar essa variação percentual com o valor dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação do número de pessoas infectadas. Basicamente, é a rapidez com que o número de infectados está mudando ao longo do tempo. Matematicamente, isso é representado pela derivada da função
em relação a
, ou seja,
.
Vamos calcular
:
Para derivar
, aplicamos a regra do produto e a regra da potência:
Simplificando:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a variação percentual da função
. A variação percentual é dada por:
Nosso critério é que essa variação ultrapasse
. Então, estabelecemos a seguinte desigualdade:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Ou seja:
Passo 4
Substituindo
e
na desigualdade:
Vamos resolver passo a passo:
Primeiro, calculamos
:
Agora, a desigualdade fica:
Vamos levar todos os termos para o lado esquerdo:
Organizando os termos:
Passo 5
Para resolver essa desigualdade polinomial, provavelmente precisaremos encontrar as raízes do polinômio e analisar os intervalos onde a expressão é positiva.
No entanto, esse polinômio de quinto grau pode ser complicado de resolver analiticamente. Portanto, podemos utilizar métodos numéricos ou gráficos para encontrar aproximadamente os valores de
que satisfazem a desigualdade dentro do intervalo
.
Passo 6
Utilizando uma ferramenta gráfica ou um software de cálculo, plotamos a função:
Procuramos os valores de
entre 0 e 8 onde
. Supondo que, após a análise gráfica, encontramos que isso ocorre entre aproximadamente
e
semanas.
Resposta
Após resolver a desigualdade, concluímos que a taxa de variação percentual do número de pessoas infectadas ultrapassa
durante o período entre aproximadamente
e
semanas.
Exercícios relacionados
Determine
e
.
Determine um
para
, tal que
Para cada funçào
sào dados
Em cada um dos problemas abaixo, determine o maior intervalo no qual o PVI dado certamente tem uma única solução. Não encontre a solução.
.
Calcular
nos seguintes casos:
(n)
(n)