Uma doença esta se disseminando de tal forma que, após semanas, o número de pessoas infectadas é dada por
Determine:
b) Suponha que as autoridades sanitárias declarem que uma doença atingiu proporções epidêmicas quando taxa de varaiação percentual do número de pessoas infectadas ultrapassa . Qual é o periodo de tempo no qual esse critério é satisfeito?

Passo 1

Então, vamos lá! Recebemos um problema sobre a disseminação de uma doença. A equação que nos dá o número de pessoas infectadas após semanas é:
Queremos descobrir em qual período de tempo a taxa de variação percentual do número de pessoas infectadas ultrapassa . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar a taxa de variação, e depois relacionar essa variação percentual com o valor dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação do número de pessoas infectadas. Basicamente, é a rapidez com que o número de infectados está mudando ao longo do tempo. Matematicamente, isso é representado pela derivada da função em relação a , ou seja, .
Vamos calcular :
Para derivar , aplicamos a regra do produto e a regra da potência:
Simplificando:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a variação percentual da função . A variação percentual é dada por:
çã
Nosso critério é que essa variação ultrapasse . Então, estabelecemos a seguinte desigualdade:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Ou seja:

Passo 4

Substituindo e na desigualdade:
Vamos resolver passo a passo:
Primeiro, calculamos :
Agora, a desigualdade fica:
Vamos levar todos os termos para o lado esquerdo:
Organizando os termos:

Passo 5

Para resolver essa desigualdade polinomial, provavelmente precisaremos encontrar as raízes do polinômio e analisar os intervalos onde a expressão é positiva.
No entanto, esse polinômio de quinto grau pode ser complicado de resolver analiticamente. Portanto, podemos utilizar métodos numéricos ou gráficos para encontrar aproximadamente os valores de que satisfazem a desigualdade dentro do intervalo .

Passo 6

Utilizando uma ferramenta gráfica ou um software de cálculo, plotamos a função:
Procuramos os valores de entre 0 e 8 onde . Supondo que, após a análise gráfica, encontramos que isso ocorre entre aproximadamente e semanas.

Resposta

Após resolver a desigualdade, concluímos que a taxa de variação percentual do número de pessoas infectadas ultrapassa durante o período entre aproximadamente e semanas.

Exercícios relacionados

Determine e .
Determine um para , tal que
â
Para cada funçào sào dados
Em cada um dos problemas abaixo, determine o maior intervalo no qual o PVI dado certamente tem uma única solução. Não encontre a solução.
.
Calcular nos seguintes casos:
(n)