Em cada um dos problemas abaixo, determine a solução geral da equação diferencial dada. Se as condições iniciais forem dadas, encontre a solução satisfazendo as condições prefixadas.
y'' - 6y' + 9y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar aqui é a resolução de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para isso, precisamos encontrar a solução geral da equação usando a equação característica e depois aplicar as condições iniciais para determinar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica para uma equação do tipo é . No nosso caso, a equação é , então a equação característica será:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz real dupla .

Passo 4

Como a equação característica tem uma raiz dupla , a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial . Substituindo na solução geral:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda condição inicial . Primeiro, precisamos encontrar a derivada da solução geral:
Agora, substituindo :
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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