Em cada um dos problemas abaixo, determine a solução geral da equação diferencial dada. Se as condições iniciais forem dadas, encontre a solução satisfazendo as condições prefixadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é a resolução de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para isso, precisamos encontrar a solução geral da equação usando a equação característica e depois aplicar as condições iniciais para determinar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica para uma equação do tipo
é
. No nosso caso, a equação é
, então a equação característica será:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz real dupla
.
Passo 4
Como a equação característica tem uma raiz dupla
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda condição inicial
. Primeiro, precisamos encontrar a derivada da solução geral:
Agora, substituindo
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: