Dada as seqüências abaixo: x_n, n pertence a N dada por: x1 = raiz(a), xn+1 = raiz(a xn), a > 1. Mostre que: x_n, n pertence a N é limitada superiormente.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida da seguinte forma:
  • , onde
O objetivo é mostrar que essa sequência é limitada superiormente, ou seja, existe algum número que é maior ou igual a todos os termos da sequência.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sequências e limites, especialmente a ideia de uma sequência convergente e limitada. Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da sequência para ter uma ideia de como ela se comporta.
Percebemos que os expoentes de estão aumentando e se aproximando de 1. Isso sugere que a sequência pode estar convergindo para .

Passo 3

Vamos supor que a sequência converge para um limite . Se a sequência converge, então também converge para . Portanto, podemos escrever a equação do limite:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar :
Subtraindo de ambos os lados:
Então, as soluções são ou .

Passo 5

Como e , todos os termos da sequência serão positivos. Portanto, não faz sentido nesse contexto. Assim, concluímos que o limite .

Passo 6

Sabemos que se uma sequência converge para , então ela é limitada acima por . Isso ocorre porque os termos da sequência se aproximam de e não excedem esse valor no limite.
Além disso, ao observarmos os primeiros termos, percebemos que cada termo é menor que . Por exemplo:

Resposta

Portanto, a sequência definida por e , com , é limitada superiormente por .

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