Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é limitada superiormente.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência
definida da seguinte forma:
-
-
, onde
O objetivo é mostrar que essa sequência é limitada superiormente, ou seja, existe algum número que é maior ou igual a todos os termos da sequência.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sequências e limites, especialmente a ideia de uma sequência convergente e limitada. Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da sequência para ter uma ideia de como ela se comporta.
Percebemos que os expoentes de
estão aumentando e se aproximando de 1. Isso sugere que a sequência pode estar convergindo para
.
Passo 3
Vamos supor que a sequência
converge para um limite
. Se a sequência converge, então
também converge para
. Portanto, podemos escrever a equação do limite:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então, as soluções são
ou
.
Passo 5
Como
e
, todos os termos da sequência serão positivos. Portanto,
não faz sentido nesse contexto. Assim, concluímos que o limite
.
Passo 6
Sabemos que se uma sequência converge para
, então ela é limitada acima por
. Isso ocorre porque os termos da sequência se aproximam de
e não excedem esse valor no limite.
Além disso, ao observarmos os primeiros termos, percebemos que cada termo é menor que
. Por exemplo:
Resposta
Portanto, a sequência
definida por
e
, com
, é limitada superiormente por
.