Verifique se e formam um conjunto fundamental de soluções da equação . E , determine a solução geral.
Passo 1
Vamos analisar se as funções , e formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial . Para isso, precisamos entender os conceitos de equações diferenciais lineares de ordem superior e conjuntos fundamentais de soluções. Também utilizaremos o método das soluções exponenciais e o determinante de Wronskiano para verificar a independência linear das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as soluções gerais da equação diferencial homogênea . Para isso, assumimos soluções da forma , onde é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação:
Como nunca é zero, temos que o polinômio característico é:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica . Vamos tentar encontrar suas raízes. Testando :
Então, é uma raiz. Podemos fatorar o polinômio dividindo por :
Resolvendo :
Então, as raízes são e . Portanto, as soluções gerais são:
Passo 4
Como encontramos três soluções distintas , e , agora precisamos verificar se elas são linearmente independentes para formar um conjunto fundamental. Para isso, usamos o Wronskiano, que é um determinante que nos ajuda a verificar a independência linear das funções.
Calculamos o Wronskiano :
Calculando o determinante:
Como para todo , as funções são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções.
Resposta
As funções , e formam um conjunto fundamental de soluções da equação . Portanto, a solução geral da equação diferencial é: