Em cada um dos problemas abaixo, determine a solução geral da equação diferencial dada. Se as condições iniciais forem dadas, encontre a solução satisfazendo as condições prefixadas.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução da equação tem a forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Isso nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica.
Passo 3
Derivando
, temos:
Substituindo essas derivadas na equação diferencial:
]
Passo 4
Fatorando
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 5
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Os valores de
são complexos:
e
.
Passo 6
Quando os valores de
são complexos
, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
, então:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Passo 8
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Primeiro, encontramos a derivada de
Simplificando:
Aplicando
:
Como
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é monótona crescente ou decrescente.
Calcule
, sendo :
Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é convergente e calcule o seu limite.
Considere a função
definida em
.
Determine a curva de nível de
.
Determine a curva de nível