Em cada um dos problemas abaixo, determine a solução geral da equação diferencial dada. Se as condições iniciais forem dadas, encontre a solução satisfazendo as condições prefixadas.
y'' - 2y' + 2y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução da equação tem a forma , onde é uma constante a ser determinada. Isso nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica.

Passo 3

Derivando , temos:
Substituindo essas derivadas na equação diferencial:
]

Passo 4

Fatorando (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 5

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Os valores de são complexos: e .

Passo 6

Quando os valores de são complexos , a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e , então:

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:

Passo 8

Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Simplificando:
Aplicando :
Como :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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