Calcule , sendo :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de em relação a , onde . Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente tratando de funções exponenciais e como diferenciá-las. Para resolver, vamos precisar usar o logaritmo natural e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função exponencial onde a base é uma constante, como , e o expoente é uma função de , usamos o logaritmo natural para facilitar a diferenciação. Isso se chama diferenciação logarítmica.

Passo 3

Vamos começar aplicando o logaritmo natural dos dois lados da equação para simplificar:

Passo 4

Usando a propriedade dos logaritmos que nos permite trazer o expoente para a frente, ficamos com:

Passo 5

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que a derivada de em relação a é , e a derivada de é :

Passo 6

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Finalmente, substituímos pela expressão original :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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