Calcule
, sendo :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de
em relação a
, onde
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente tratando de funções exponenciais e como diferenciá-las. Para resolver, vamos precisar usar o logaritmo natural e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função exponencial onde a base é uma constante, como
, e o expoente é uma função de
, usamos o logaritmo natural para facilitar a diferenciação. Isso se chama diferenciação logarítmica.
Passo 3
Vamos começar aplicando o logaritmo natural dos dois lados da equação para simplificar:
Passo 4
Usando a propriedade dos logaritmos que nos permite trazer o expoente para a frente, ficamos com:
Passo 5
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que a derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
é
:
Passo 6
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Finalmente, substituímos
pela expressão original
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é monótona crescente ou decrescente.
Determine uma segunda solução da equação diferencial dada pelo método de redução de ordem.
Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é monótona crescente ou decrescente.
Em cada um dos problemas abaixo, determine a solução geral da equação diferencial dada. Se as condições iniciais forem dadas, encontre a solução satisfazendo as condições prefixadas.