Considere a função
definida em
.
Determine a curva de nível
de
.
Determine a curva de nível
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis:
E queremos descobrir qual a curva de nível onde
. Ou seja, queremos encontrar todos os pontos
que fazem a função valer
. Para isso, vamos usar conceitos de funções de várias variáveis e equações de curvas no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar a função ao valor da curva de nível:
Nosso objetivo é resolver essa equação para
e
.
Passo 3
Vamos eliminar a fração multiplicando ambos os lados pela expressão do denominador:
Isso simplifica nossa equação e facilita a resolução.
Passo 4
Agora, distribuímos o
na expressão do lado direito:
Isso nos ajuda a organizar os termos de
e
.
Passo 5
Vamos expandir os termos quadrados no lado esquerdo:
Expandindo cada termo, facilitamos a coleta de termos semelhantes.
Passo 6
Multiplicamos os coeficientes dentro dos parênteses:
Isso simplifica ainda mais a equação.
Passo 7
Somamos os termos semelhantes no lado esquerdo:
Agora, temos todos os termos de
e
agrupados.
Passo 8
Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo menos o lado direito para igualar a zero:
Subtraímos os termos do lado direito da expressão.
Passo 9
Para facilitar os cálculos, multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar as frações:
Simplificando:
Passo 10
Agora, combinamos os termos semelhantes:
Calculando:
Passo 11
Multiplicamos ambos os lados por -1 para facilitar a visualização:
Agora, a equação está mais organizada para identificar a curva.
Passo 12
Vamos reorganizar os termos para completar os quadrados:
Isso nos ajudará a identificar o tipo de curva.
Passo 13
Completemos o quadrado para os termos de
:
E para os termos de
:
Passo 14
Substituímos de volta na equação:
Agora, somamos os termos constantes:
Passo 15
Isolamos os termos quadráticos:
Dividimos ambos os lados por 40 para facilitar a identificação da curva:
Simplificando as frações:
Passo 16
Reescrevemos as frações para deixar claro que é a equação de uma elipse:
Isso mostra que a curva de nível é uma elipse com centro em
.
Resposta
A curva de nível
de
é a elipse definida por