Considere a função
definida em .
Determine a curva de nível de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis:
E queremos descobrir qual a curva de nível onde . Ou seja, queremos encontrar todos os pontos que fazem a função valer . Para isso, vamos usar conceitos de funções de várias variáveis e equações de curvas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar a função ao valor da curva de nível:
Nosso objetivo é resolver essa equação para e .

Passo 3

Vamos eliminar a fração multiplicando ambos os lados pela expressão do denominador:
Isso simplifica nossa equação e facilita a resolução.

Passo 4

Agora, distribuímos o na expressão do lado direito:
Isso nos ajuda a organizar os termos de e .

Passo 5

Vamos expandir os termos quadrados no lado esquerdo:
Expandindo cada termo, facilitamos a coleta de termos semelhantes.

Passo 6

Multiplicamos os coeficientes dentro dos parênteses:
Isso simplifica ainda mais a equação.

Passo 7

Somamos os termos semelhantes no lado esquerdo:
Agora, temos todos os termos de e agrupados.

Passo 8

Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo menos o lado direito para igualar a zero:
Subtraímos os termos do lado direito da expressão.

Passo 9

Para facilitar os cálculos, multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar as frações:
Simplificando:

Passo 10

Agora, combinamos os termos semelhantes:
Calculando:

Passo 11

Multiplicamos ambos os lados por -1 para facilitar a visualização:
Agora, a equação está mais organizada para identificar a curva.

Passo 12

Vamos reorganizar os termos para completar os quadrados:
Isso nos ajudará a identificar o tipo de curva.

Passo 13

Completemos o quadrado para os termos de :
E para os termos de :

Passo 14

Substituímos de volta na equação:
Agora, somamos os termos constantes:

Passo 15

Isolamos os termos quadráticos:
Dividimos ambos os lados por 40 para facilitar a identificação da curva:
Simplificando as frações:

Passo 16

Reescrevemos as frações para deixar claro que é a equação de uma elipse:
Isso mostra que a curva de nível é uma elipse com centro em .

Resposta

A curva de nível de é a elipse definida por

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