Dada as seqüências abaixo: dada por: . Mostre que: é monótona crescente ou decrescente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma sequência definida por uma regra de recorrência: começamos com e cada termo seguinte é . Nosso objetivo é mostrar que essa sequência é monótona, ou seja, que ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Vamos precisar entender sobre sequências monótonas e como aplicar indução matemática para provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular alguns termos da sequência para ter uma ideia de como ela se comporta.
Vimos que os termos estão alternando sinais e variando de tamanho. Isso sugere que a sequência não é estritamente crescente ou decrescente em todos os termos, mas precisamos analisar isso de forma mais geral.

Passo 3

Vamos considerar o comportamento geral da sequência. Para a sequência ser monótona crescente, precisaríamos que para todo . Para ser decrescente, precisaríamos que para todo .
Vamos supor que a sequência seja decrescente e tentar verificar se isso faz sentido.

Passo 4

Para provar que a sequência é decrescente, vamos assumir que para todo . A partir da fórmula de recorrência:
Queremos ver se .

Passo 5

Vamos rearranjar a desigualdade :
Multiplicando ambos os lados por 2:
Adicionando em ambos os lados:
Esse resultado precisa ser verdadeiro para todos os da sequência. Vamos verificar se isso acontece.

Passo 6

Observando a desigualdade :
Podemos notar que para , é sempre positivo e geralmente maior que 1. No entanto, nos termos que calculamos, vimos que há termos negativos, o que complica a análise. Portanto, a suposição de que a sequência é sempre decrescente pode não ser válida.

Passo 7

Vamos reconsiderar e verificar se a sequência é monótona urbana (ou seja, tem subsequências que são crescentes e decrescentes) em vez de ser estritamente crescente ou decrescente. Observando os termos calculados:
Vemos que a sequência alterna entre valores positivos e negativos, aumentando e diminuindo em magnitude. Isso indica que a sequência não é monótona no sentido tradicional de ser totalmente crescente ou decrescente.

Resposta

A sequência definida por e não é monótona; ela não é estritamente crescente nem decrescente.

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Calcule , sendo :
Dada as seqüências abaixo: dada por: . Mostre que: é monótona crescente ou decrescente.
Em cada um dos problemas abaixo, determine a solução geral da equação diferencial dada. Se as condições iniciais forem dadas, encontre a solução satisfazendo as condições prefixadas.
Dada as seqüências abaixo: dada por: . Mostre que: é convergente e calcule o seu limite.