Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é monótona crescente ou decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma sequência definida por uma regra de recorrência: começamos com
e cada termo seguinte é
. Nosso objetivo é mostrar que essa sequência é monótona, ou seja, que ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Vamos precisar entender sobre sequências monótonas e como aplicar indução matemática para provar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular alguns termos da sequência para ter uma ideia de como ela se comporta.
Vimos que os termos estão alternando sinais e variando de tamanho. Isso sugere que a sequência não é estritamente crescente ou decrescente em todos os termos, mas precisamos analisar isso de forma mais geral.
Passo 3
Vamos considerar o comportamento geral da sequência. Para a sequência ser monótona crescente, precisaríamos que
para todo
. Para ser decrescente, precisaríamos que
para todo
.
Vamos supor que a sequência seja decrescente e tentar verificar se isso faz sentido.
Passo 4
Para provar que a sequência é decrescente, vamos assumir que
para todo
. A partir da fórmula de recorrência:
Queremos ver se
.
Passo 5
Vamos rearranjar a desigualdade
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Adicionando
em ambos os lados:
Esse resultado precisa ser verdadeiro para todos os
da sequência. Vamos verificar se isso acontece.
Passo 6
Observando a desigualdade
:
Podemos notar que para
,
é sempre positivo e geralmente maior que 1. No entanto, nos termos que calculamos, vimos que há termos negativos, o que complica a análise. Portanto, a suposição de que a sequência é sempre decrescente pode não ser válida.
Passo 7
Vamos reconsiderar e verificar se a sequência é monótona urbana (ou seja, tem subsequências que são crescentes e decrescentes) em vez de ser estritamente crescente ou decrescente. Observando os termos calculados:
Vemos que a sequência alterna entre valores positivos e negativos, aumentando e diminuindo em magnitude. Isso indica que a sequência não é monótona no sentido tradicional de ser totalmente crescente ou decrescente.
Resposta
A sequência
definida por
e
não é monótona; ela não é estritamente crescente nem decrescente.
Exercícios relacionados
Calcule
, sendo :
Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é monótona crescente ou decrescente.
Em cada um dos problemas abaixo, determine a solução geral da equação diferencial dada. Se as condições iniciais forem dadas, encontre a solução satisfazendo as condições prefixadas.
Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é convergente e calcule o seu limite.