Dada as seqüências abaixo: x_n, n pertence a N dada por: x1 = 1, xn+1 = (1/2)(1 - (2/xn)). Mostre que: x_n, n pertence a N é convergente e calcule o seu limite.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a sequência definida por e é convergente e calcular o seu limite. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e resolver uma equação de fixação para encontrar o valor para o qual a sequência converge.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a sequência converge para um limite . Se isso for verdade, então tanto quanto vão se aproximar de quando tende ao infinito. Portanto, podemos substituir e por na relação de recorrência:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar . Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por 2 para eliminar o denominador:
Em seguida, multiplicamos ambos os lados por para eliminar a fração:
Rearranjando os termos, obtemos uma equação quadrática:

Passo 4

Para resolver a equação quadrática , calculamos o discriminante :
Como o discriminante é negativo ( ), a equação não possui soluções reais. Isso significa que não existe um número real que satisfaça a equação de fixação.

Passo 5

Como não existe um limite real que a sequência possa ter, concluímos que a sequência não é convergente no conjunto dos números reais. Portanto, a sequência diverge.

Resposta

A sequência não é convergente no conjunto dos números reais.

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