Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é convergente e calcule o seu limite.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a sequência
definida por
e
é convergente e calcular o seu limite. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e resolver uma equação de fixação para encontrar o valor para o qual a sequência converge.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a sequência
converge para um limite
. Se isso for verdade, então tanto
quanto
vão se aproximar de
quando
tende ao infinito. Portanto, podemos substituir
e
por
na relação de recorrência:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por 2 para eliminar o denominador:
Em seguida, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar a fração:
Rearranjando os termos, obtemos uma equação quadrática:
Passo 4
Para resolver a equação quadrática
, calculamos o discriminante
:
Como o discriminante é negativo (
), a equação não possui soluções reais. Isso significa que não existe um número real
que satisfaça a equação de fixação.
Passo 5
Como não existe um limite real
que a sequência
possa ter, concluímos que a sequência não é convergente no conjunto dos números reais. Portanto, a sequência diverge.
Resposta
A sequência
não é convergente no conjunto dos números reais.
Exercícios relacionados
Em cada um dos problemas abaixo, determine a solução geral da equação diferencial dada. Se as condições iniciais forem dadas, encontre a solução satisfazendo as condições prefixadas.
Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é monótona crescente ou decrescente.
Considere a função
definida em
.
Determine a curva de nível de
.
Determine a curva de nível
Em cada um dos problemas abaixo, determine a solução geral da equação diferencial dada. Se as condições iniciais forem dadas, encontre a solução satisfazendo as condições prefixadas.