Em cada um dos problemas abaixo, determine a solução geral da equação diferencial dada. Se as condições iniciais forem dadas, encontre a solução satisfazendo as condições prefixadas.
y'' + 2y' - 3y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem com as condições iniciais e . Para isso, vamos usar o método das equações características, que é útil para resolver equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica é obtida substituindo por , o que nos leva à equação:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar as raízes . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Então, temos duas raízes:

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação diferencial homogênea é dada por:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os valores das constantes e usando as condições iniciais e .
Primeiro, aplicamos na solução geral:
Agora, derivamos a solução geral para encontrar :
Aplicando :

Passo 6

Temos agora um sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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