Em cada um dos problemas abaixo, determine a solução geral da equação diferencial dada. Se as condições iniciais forem dadas, encontre a solução satisfazendo as condições prefixadas.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
com as condições iniciais
e
. Para isso, vamos usar o método das equações características, que é útil para resolver equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica é obtida substituindo
por
, o que nos leva à equação:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar as raízes
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então, temos duas raízes:
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação diferencial homogênea é dada por:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os valores das constantes
e
usando as condições iniciais
e
.
Primeiro, aplicamos
na solução geral:
Agora, derivamos a solução geral para encontrar
:
Aplicando
:
Passo 6
Temos agora um sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Considere a função
definida em
.
Determine a curva de nível de
.
Determine a curva de nível
Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é convergente e calcule o seu limite.
Juros compostos Nos Exercicios 29-32, use uma planiIha para completar a tabela e determinar a quantia em dinheiro
que deveria ser investida a uma taxa
para gerar um saldo final de
em
anos.
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1 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
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Taxa efetiva Determine a taxa efetiva de juros correspondente à taxa nominal de
por ano, capitalizados (a) anualmente, (b) semestralmente, © trimestralmente e (d) mensalmente.