Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado e esboce o gráfico da solução descrevendo o seu comportamento para valores cada vez maiores de
:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrar a solução da equação diferencial de segunda ordem
com as condições iniciais
e
. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, encontrar as raízes da equação característica e aplicar as condições iniciais para determinar a solução completa. Depois, vamos esboçar o gráfico da solução e ver como ela se comporta quando
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Para resolver essa equação, vamos encontrar a equação característica associada, que é uma equação quadrática obtida substituindo
por
,
por
e
por 1:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar as raízes
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então, as raízes são complexas:
e
.
Passo 4
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
e
. Então, substituindo:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeira condição:
Substituindo
:
Passo 6
Segunda condição:
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
:
Usando a regra do produto:
Agora, aplicando
:
Passo 7
Agora que encontramos
e
, substituímos de volta na solução geral:
Passo 8
Para esboçar o gráfico da solução e analisar o comportamento quando
aumenta, observamos que:
- O termo
representa um fator de amortecimento exponencial, que diminui à medida que aumenta. - As funções
e são oscilatórias, com período . - Portanto, o gráfico será uma oscilação decrescente em amplitude, aproximando-se de zero conforme
cresce.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
O gráfico dessa solução apresenta oscilações que diminuem em amplitude à medida que
aumenta, aproximando-se de zero devido ao fator de amortecimento
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos problemas dados, verifique que as funções
e
dadas satisfazem a equação homogênea associada. Em seguida, encontre uma solução particular da equação não homogênea, utilizando o método de variação de parâmetros:
;
Encontre a solução geral de cada equação dada utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
.
Calcule
Encontre a solução geral de cada equação dada utilizando o método de variação de parâmetros:
;