Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado e esboce o gráfico da solução descrevendo o seu comportamento para valores cada vez maiores de :
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrar a solução da equação diferencial de segunda ordem com as condições iniciais e . Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, encontrar as raízes da equação característica e aplicar as condições iniciais para determinar a solução completa. Depois, vamos esboçar o gráfico da solução e ver como ela se comporta quando cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Para resolver essa equação, vamos encontrar a equação característica associada, que é uma equação quadrática obtida substituindo por , por e por 1:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar as raízes . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Então, as raízes são complexas: e .

Passo 4

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde e . Então, substituindo:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeira condição:
Substituindo :

Passo 6

Segunda condição:
Primeiro, vamos encontrar a derivada de :
Usando a regra do produto:
Agora, aplicando :

Passo 7

Agora que encontramos e , substituímos de volta na solução geral:

Passo 8

Para esboçar o gráfico da solução e analisar o comportamento quando aumenta, observamos que:
  • O termo representa um fator de amortecimento exponencial, que diminui à medida que aumenta.
  • As funções e são oscilatórias, com período .
  • Portanto, o gráfico será uma oscilação decrescente em amplitude, aproximando-se de zero conforme cresce.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
O gráfico dessa solução apresenta oscilações que diminuem em amplitude à medida que aumenta, aproximando-se de zero devido ao fator de amortecimento .

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Em cada um dos problemas dados, verifique que as funções e dadas satisfazem a equação homogênea associada. Em seguida, encontre uma solução particular da equação não homogênea, utilizando o método de variação de parâmetros:
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Encontre a solução geral de cada equação dada utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
.
Calcule
Encontre a solução geral de cada equação dada utilizando o método de variação de parâmetros:
;