Encontre a solução geral de cada equação dada utilizando o método de variação de parâmetros:
4 y'' - 4 y' + y = 16 e^(t/2);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo que vamos usar para resolver isso é o método de variação de parâmetros, que serve para encontrar a solução geral de equações diferenciais não homogêneas. A gente vai precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois descobrir uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Isso significa que estamos procurando soluções onde o lado direito da equação é zero.

Passo 3

Para resolver a homogênea, vamos achar a equação característica. Substituímos na equação homogênea:
Vamos resolver essa equação de segundo grau para encontrar os valores de .

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla .

Passo 5

Com a raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que determinamos com condições iniciais, se tiverem.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método de variação de parâmetros. A solução particular geralmente tem a mesma forma do termo não homogêneo, mas ajustada para não coincidir com a solução homogênea.
Como o lado direito é e nossa solução homogênea já envolve , vamos tentar:
Multiplicamos por para garantir que a solução particular seja independente da homogênea.

Passo 7

Substituindo na equação original para verificar:
Agora, substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Para igualar a , ajustamos:

Resposta

A solução geral da equação é:

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