Encontre a solução geral de cada equação dada utilizando o método de variação de parâmetros:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo que vamos usar para resolver isso é o método de variação de parâmetros, que serve para encontrar a solução geral de equações diferenciais não homogêneas. A gente vai precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois descobrir uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Isso significa que estamos procurando soluções onde o lado direito da equação é zero.
Passo 3
Para resolver a homogênea, vamos achar a equação característica. Substituímos
na equação homogênea:
Vamos resolver essa equação de segundo grau para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla
.
Passo 5
Com a raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que determinamos com condições iniciais, se tiverem.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa usando o método de variação de parâmetros. A solução particular geralmente tem a mesma forma do termo não homogêneo, mas ajustada para não coincidir com a solução homogênea.
Como o lado direito é
e nossa solução homogênea já envolve
, vamos tentar:
Multiplicamos por
para garantir que a solução particular seja independente da homogênea.
Passo 7
Substituindo
na equação original para verificar:
Agora, substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Para igualar a
, ajustamos:
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
Calcule
Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado e esboce o gráfico da solução descrevendo o seu comportamento para valores cada vez maiores de
:
;
Calcule a integral:
Considere a equação diferencial abaixo:
a) De que tipo é esta equação diferencial? Justifique.