Encontre a solução geral de cada equação dada utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial aqui:
Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral. Basicamente, esse método envolve encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Fatorando
, que nunca é zero:
Portanto, a equação característica é:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes reais distintas:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
A função do lado direito é composta por um polinômio de segundo grau (
) e uma função trigonométrica (
). Então, vamos encontrar soluções particulares para cada parte e somá-las.
Passo 7
Primeiro, para o termo
, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
,
, e
são coeficientes a serem determinados.
Passo 8
Agora, vamos derivar
:
Passo 9
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Passo 10
Agora, igualamos os coeficientes de termos semelhantes:
Para
:
Para
:
Substituindo
:
Para os termos constantes:
Substituindo
e
:
Passo 11
Então, a solução particular para o termo
é:
Passo 12
Agora, vamos encontrar a solução particular para o termo
. Assumimos uma solução da forma:
Onde
e
são coeficientes a serem determinados.
Passo 13
Derivando
:
Passo 14
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Simplificando:
Passo 15
Igualando os coeficientes:
Para
:
Para
:
Passo 16
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 17
Portanto, a solução particular para o termo trigonométrico é:
Passo 18
A solução particular geral (
) é a soma de
e
:
Passo 19
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Então,
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral da equação dada.
Calcule.
Em cada um dos problemas dados, verifique que as funções
e
dadas satisfazem a equação homogênea associada. Em seguida, encontre uma solução particular da equação não homogênea, utilizando o método de variação de parâmetros:
;
Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado e esboce o gráfico da solução descrevendo o seu comportamento para valores cada vez maiores de
:
;