Encontre a solução geral de cada equação dada utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial aqui:
Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral. Basicamente, esse método envolve encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Fatorando , que nunca é zero:
Portanto, a equação característica é:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes reais distintas:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
A função do lado direito é composta por um polinômio de segundo grau ( ) e uma função trigonométrica ( ). Então, vamos encontrar soluções particulares para cada parte e somá-las.

Passo 7

Primeiro, para o termo , assumimos uma solução particular da forma:
Onde , , e são coeficientes a serem determinados.

Passo 8

Agora, vamos derivar :

Passo 9

Substituindo e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos:

Passo 10

Agora, igualamos os coeficientes de termos semelhantes:
Para :
Para :
Substituindo :
Para os termos constantes:
Substituindo e :

Passo 11

Então, a solução particular para o termo é:

Passo 12

Agora, vamos encontrar a solução particular para o termo . Assumimos uma solução da forma:
Onde e são coeficientes a serem determinados.

Passo 13

Derivando :

Passo 14

Substituindo e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Simplificando:

Passo 15

Igualando os coeficientes:
Para :
Para :

Passo 16

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 17

Portanto, a solução particular para o termo trigonométrico é:

Passo 18

A solução particular geral ( ) é a soma de e :

Passo 19

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Então,

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Encontre a solução geral da equação dada.
Calcule.
Em cada um dos problemas dados, verifique que as funções e dadas satisfazem a equação homogênea associada. Em seguida, encontre uma solução particular da equação não homogênea, utilizando o método de variação de parâmetros:
;
Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado e esboce o gráfico da solução descrevendo o seu comportamento para valores cada vez maiores de :
;