Calcule
Passo 1
Beleza, vamos calcular a transformada inversa de Laplace da expressão
. Para isso, vamos usar o conteúdo de Transformadas de Laplace e frações parciais. Precisamos fatorar o denominador e decompor a fração para facilitar a aplicação da transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. A parte
pode ser fatorada assim:
Então, o denominador completo fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. Isso significa que vamos escrever:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para achar
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Com os valores de
,
e
encontrados, podemos reescrever a fração original:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separado. Sabemos que:
Aplicando isso a cada fração:
Passo 7
Finalmente, somamos todas as transformadas inversas para obter a solução completa:
Resposta
Exercícios relacionados
Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado e esboce o gráfico da solução descrevendo o seu comportamento para valores cada vez maiores de
:
;
Em cada um dos problemas dados, verifique que as funções
e
dadas satisfazem a equação homogênea associada. Em seguida, encontre uma solução particular da equação não homogênea, utilizando o método de variação de parâmetros:
;
Encontre a solução geral de cada equação dada utilizando o método de variação de parâmetros:
;
Calcule a integral: