Calcule

Passo 1

Beleza, vamos calcular a transformada inversa de Laplace da expressão . Para isso, vamos usar o conteúdo de Transformadas de Laplace e frações parciais. Precisamos fatorar o denominador e decompor a fração para facilitar a aplicação da transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . A parte pode ser fatorada assim:
Então, o denominador completo fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Isso significa que vamos escrever:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para achar , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Com os valores de , e encontrados, podemos reescrever a fração original:

Passo 6

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separado. Sabemos que:
Aplicando isso a cada fração:

Passo 7

Finalmente, somamos todas as transformadas inversas para obter a solução completa:

Resposta

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Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado e esboce o gráfico da solução descrevendo o seu comportamento para valores cada vez maiores de :
;
Em cada um dos problemas dados, verifique que as funções e dadas satisfazem a equação homogênea associada. Em seguida, encontre uma solução particular da equação não homogênea, utilizando o método de variação de parâmetros:
;
Encontre a solução geral de cada equação dada utilizando o método de variação de parâmetros:
;
Calcule a integral: