Em cada um dos problemas dados, verifique que as funções e dadas satisfazem a equação homogênea associada. Em seguida, encontre uma solução particular da equação não homogênea, utilizando o método de variação de parâmetros: ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se as funções e satisfazem a equação homogênea associada. Depois, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea usando o método de variação de parâmetros. Vamos precisar de conhecimentos sobre equações diferenciais lineares e métodos para resolver equações não homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação homogênea associada. A equação dada é:
A equação homogênea correspondente é:
Vamos verificar se e satisfazem essa equação.
Passo 3
Vamos começar com . Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Então, satisfaz a equação homogênea.
Passo 4
Agora, vamos verificar . Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Fatorando :
Simplificando dentro do colchete:
Distribuindo:
Expandindo :
Combine os termos semelhantes:
Mas percebi que houve um erro na simplificação anterior. Vamos corrigir:
Depois de expandir corretamente:
Agora:
Parece que ainda não cancela para zero, o que indica que houve um erro no cálculo das derivadas ou na substituição. Vamos revisar as derivadas de :
Substituindo novamente na equação homogênea:
Fatorando :
Simplificando dentro do colchete:
Distribuindo:
Expandindo :
Agora, combinando os termos:
Pronto! Agora está correto. Portanto, também satisfaz a equação homogênea.
Passo 5
Agora que confirmamos que e são soluções da equação homogênea, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea usando o método de variação de parâmetros.
A equação não homogênea é:
Para o método de variação de parâmetros, precisamos calcular o Wronskiano das soluções homogêneas e usar as fórmulas para encontrar as funções e .
Passo 6
Primeiro, calculamos o Wronskiano das soluções e :
[
W(t) =
]
Calculando o determinante:
Passo 7
Agora, usamos as fórmulas do método de variação de parâmetros para encontrar e :
Onde é o termo não homogêneo dividido pelo coeficiente de , ou seja:
Substituindo:
Passo 8
Integramos para encontrar e :
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração: