Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem a equação diferencial:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Precisamos identificar o que a gente vai usar: a fórmula para fator integrante e depois integrar para achar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Em seguida, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Então podemos escrever:
Passo 6
Para encontrar
, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Ou simplificando:
Exercícios relacionados
Determine a ordem da equação diferencial e classifique-a em linear ou não linear.
;
Determine o valor de
para que a função
seja contínua em
, justificando sua resposta.
(a)
(a)
Encontre a solução explícita de cada um dos problemas de valor inicial dados:
.
Utilizando o primeiro limite fundamental, determine: (a)