Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem a equação diferencial:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Precisamos identificar o que a gente vai usar: a fórmula para fator integrante e depois integrar para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Em seguida, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Então podemos escrever:

Passo 6

Para encontrar , integramos ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Usamos a condição inicial para encontrar :
Substituindo e :
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Então:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Ou simplificando:

Exercícios relacionados

Determine a ordem da equação diferencial e classifique-a em linear ou não linear.
;
Determine o valor de para que a função seja contínua em , justificando sua resposta.
(a)
Encontre a solução explícita de cada um dos problemas de valor inicial dados:
.
Utilizando o primeiro limite fundamental, determine: (a)