Encontre a solução explícita de cada um dos problemas de valor inicial dados:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
Nosso objetivo é encontrar uma expressão para
em função de
. Para isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a reorganizar a equação de forma que todas as expressões envolvendo
fiquem de um lado e as que envolvem
fiquem do outro.
Passo 2
Vamos começar separando as variáveis. A equação dada é:
Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Agora, reconhecemos que
, então podemos reescrever a equação como:
Passo 3
Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis
e
:
Agora, temos todas as expressões envolvendo
de um lado e as que envolvem
do outro, prontas para serem integradas.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Calculando a integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Assim, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos determinar a constante
usando a condição inicial
.
Substituímos
e
na equação:
Calculando:
Portanto:
Passo 6
Substituímos a constante
de volta na equação:
Podemos simplificar o lado direito agrupando os termos:
Então, temos:
Passo 7
Para resolver para
, tiramos a raiz quarta de ambos os lados:
Agora, usamos a condição inicial para determinar o sinal. Sabemos que
, que é negativo. Portanto, escolhemos o sinal negativo:
Resposta
A solução explícita do problema é:
Exercícios relacionados
Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado:
;
Determine a ordem da equação diferencial e classifique-a em linear ou não linear.
;
Utilizando o primeiro limite fundamental, determine: (a)
Seja
a função definida por:
© Existe
? Em caso afirmativo, qual é? Em caso negativo, por que não?