Encontre a solução explícita de cada um dos problemas de valor inicial dados:
.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
Nosso objetivo é encontrar uma expressão para em função de . Para isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a reorganizar a equação de forma que todas as expressões envolvendo fiquem de um lado e as que envolvem fiquem do outro.

Passo 2

Vamos começar separando as variáveis. A equação dada é:
Primeiro, multiplicamos ambos os lados por para isolar :
Agora, reconhecemos que , então podemos reescrever a equação como:

Passo 3

Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis e :
Agora, temos todas as expressões envolvendo de um lado e as que envolvem do outro, prontas para serem integradas.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Calculando a integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Assim, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos determinar a constante usando a condição inicial .
Substituímos e na equação:
Calculando:
Portanto:

Passo 6

Substituímos a constante de volta na equação:
Podemos simplificar o lado direito agrupando os termos:
Então, temos:

Passo 7

Para resolver para , tiramos a raiz quarta de ambos os lados:
Agora, usamos a condição inicial para determinar o sinal. Sabemos que , que é negativo. Portanto, escolhemos o sinal negativo:

Resposta

A solução explícita do problema é:

Exercícios relacionados

Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado:
;
Determine a ordem da equação diferencial e classifique-a em linear ou não linear.
;
Utilizando o primeiro limite fundamental, determine: (a)
Seja a função definida por:
© Existe ? Em caso afirmativo, qual é? Em caso negativo, por que não?