Utilizando o primeiro limite fundamental, determine: (a) lim x 0 sen(2 x)2 x

Passo 1

Beleza, o exercício quer a gente calcular o limite lim x 0 sen(2 x)2 x usando o primeiro limite fundamental. Isso faz parte do estudo de limites em cálculo, e vamos precisar entender como esse limite fundamental funciona para resolver a questão.

Passo 2

O primeiro limite fundamental diz que limx 0 sen(x)x = 1. Ou seja, quando x está bem perto de zero, sen(x)x se aproxima de 1. Vamos usar essa ideia no nosso problema.

Passo 3

No nosso limite, temos sen(2x) no numerador e 2x no denominador. Para aplicar o primeiro limite fundamental, podemos fazer uma substituição. Vamos chamar u = 2x. Assim, quando x se aproxima de 0, u também se aproxima de 0.

Passo 4

Substituindo u = 2x, nosso limite fica:
lim x 0 sen(2 x)2 x = lim u 0 sen(u)u
Segundo o primeiro limite fundamental, sabemos que lim u 0 sen(u)u = 1.

Resposta

O limite é 1.

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