Determine o valor de a para que a função f seja contínua em R, justificando sua resposta.
(a) f(x) = { (x^2 - 9) / (x - 3) se x ≠ 3, a se x = 3 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer achar o valor de que faz a função ser contínua em todos os números reais. Pra isso, vamos precisar entender de continuidade de funções e como calcular limites. A função que estamos lidando é:

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos que seja contínua em .

Passo 3

Então, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 3. Olha só:
Perceba que no numerador temos uma diferença de quadrados:
Então, substituindo na expressão do limite:
A gente pode cancelar o que está no numerador e no denominador (desde que ):

Passo 4

Agora que sabemos que o limite quando se aproxima de 3 é 6, para que a função seja contínua nesse ponto, o valor de também precisa ser 6. Ou seja, deve ser igual a 6.

Resposta

Para a função ser contínua em , o valor de deve ser igual a 6.

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