Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado:
$(a) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar um fator integrante, que ajuda a simplificar e resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é . No nosso caso, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Então, podemos escrever:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :

Passo 6

A integração do lado esquerdo é simples:
Agora, precisamos resolver a integral do lado direito. Usamos o método de integração por partes, onde:
Aplicando:

Passo 7

Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por para resolver para :

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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XLV)
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