Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado:
$(a)
;
$(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar um fator integrante, que ajuda a simplificar e resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é
. No nosso caso, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Então, podemos escrever:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Passo 6
A integração do lado esquerdo é simples:
Agora, precisamos resolver a integral do lado direito. Usamos o método de integração por partes, onde:
-
→ -
→
Aplicando:
Passo 7
Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por
para resolver para
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Construa a tabela-verdade de cada uma das sentenças ©
.
XLV)
Corrija as seguintes resoluções dos exercícios abaixo, explicando o porquê de cada correção que fizer: (b)
.
Verifique a validade dos quantificadores a seguir para a proposição
no universo dos números inteiros: (b)
.