Em cada um dos problemas abaixo, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado:
(d)
e
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
,
,
e
usando a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace é uma ferramenta que ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver. Para isso, vamos precisar aplicar a transformada nas derivadas até a quarta ordem e usar as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Isso fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Aplicando isso para a quarta derivada:
Substituindo as condições iniciais:
E para
:
Passo 4
Substituindo na equação transformada:
Fatorando
:
Então, isolamos
:
Passo 5
Agora, vamos simplificar o denominador
:
Então, podemos escrever
como:
Vamos decompôr frações parciais para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, escolhemos valores de
que simplificam a equação:
-
: -
: -
Para
(onde ): -
Comparando os coeficientes de
:
Observando que, temos:
Então, a decomposição fica:
Resposta
Aplicando a Transformada de Laplace inversa, obtemos a solução da equação diferencial:
Exercícios relacionados
Resolva a EDO d2I/dt2+20(dI/dt)+200I=0. Encontre I(t).
Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se
e
são soluções da homogênea e encontre a solução geral.
.
Resolva a EDO
Suponha que
satisfaça
para todo
e para algum
, ou seja,
é periódica de período
. Mostre que