Em cada um dos problemas abaixo, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado:
(d) y^(4) - y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0, y^(2)(0) = 1 e y(3)(0) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais , , e usando a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace é uma ferramenta que ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver. Para isso, vamos precisar aplicar a transformada nas derivadas até a quarta ordem e usar as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Isso fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Aplicando isso para a quarta derivada:
Substituindo as condições iniciais:
E para :

Passo 4

Substituindo na equação transformada:
Fatorando :
Então, isolamos :

Passo 5

Agora, vamos simplificar o denominador :
Então, podemos escrever como:
Vamos decompôr frações parciais para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação:
  1. :
  2. :
  3. Para (onde ):
  4. Comparando os coeficientes de :
    Observando que , temos:
Então, a decomposição fica:

Resposta

Aplicando a Transformada de Laplace inversa, obtemos a solução da equação diferencial:

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