Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se e são soluções da homogênea e encontre a solução geral. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me deu é para resolver a equação diferencial usando o método de variação de parâmetros. Além disso, temos as condições iniciais e . Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo . Para resolver isso, vamos precisar encontrar as soluções da equação homogênea associada e depois aplicar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada: . Para encontrar as soluções dessa equação, precisamos achar as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo por , o que nos dá:

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática , encontramos:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 4

Como temos uma raiz real dupla , as soluções da equação homogênea são:
Essas são as soluções lineares independentes da equação homogênea.

Passo 5

Agora, vamos verificar se e são realmente soluções da equação homogênea. Vamos substituir na equação:
Fazendo o mesmo para :
Portanto, ambas as funções são soluções da equação homogênea.

Passo 6

Agora que temos as soluções da equação homogênea, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método de variação de parâmetros. Para isso, precisamos calcular o Wronskiano das soluções homogêneas e .
O Wronskiano é dado por:

Passo 7

Com o Wronskiano , as fórmulas para e no método de variação de parâmetros são:
Aqui, .
Vamos calcular e :

Passo 8

Agora, a solução particular é dada por:
Simplificando os coeficientes:
Então,

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 10

Agora, vamos aplicar as condições iniciais e para encontrar os valores de e .
Primeiro, substituindo em :
Então, .

Passo 11

Agora, vamos calcular a derivada e aplicar a segunda condição inicial :
Substituindo e :
Então, .

Resposta

A solução do problema, considerando as condições iniciais, é:

Exercícios relacionados

Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se e são soluções da homogênea e encontre a solução geral. .
Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se e são soluções da homogênea e encontre a solução geral. .
Resolva a EDO d2I/dt2+20(dI/dt)+200I=0. Encontre I(t).
Em cada um dos problemas abaixo, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado:
(d) e .