Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se e são soluções da homogênea e encontre a solução geral. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me deu é para resolver a equação diferencial usando o método de variação de parâmetros. Além disso, temos as condições iniciais e . Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo . Para resolver isso, vamos precisar encontrar as soluções da equação homogênea associada e depois aplicar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada: . Para encontrar as soluções dessa equação, precisamos achar as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo por , o que nos dá:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática , encontramos:
Então, temos uma raiz dupla .
Passo 4
Como temos uma raiz real dupla , as soluções da equação homogênea são:
Essas são as soluções lineares independentes da equação homogênea.
Passo 5
Agora, vamos verificar se e são realmente soluções da equação homogênea. Vamos substituir na equação:
Fazendo o mesmo para :
Portanto, ambas as funções são soluções da equação homogênea.
Passo 6
Agora que temos as soluções da equação homogênea, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método de variação de parâmetros. Para isso, precisamos calcular o Wronskiano das soluções homogêneas e .
O Wronskiano é dado por:
Passo 7
Com o Wronskiano , as fórmulas para e no método de variação de parâmetros são:
Aqui, .
Vamos calcular e :
Passo 8
Agora, a solução particular é dada por:
Simplificando os coeficientes:
Então,
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 10
Agora, vamos aplicar as condições iniciais e para encontrar os valores de e .
Primeiro, substituindo em :
Então, .
Passo 11
Agora, vamos calcular a derivada e aplicar a segunda condição inicial :
Substituindo e :
Então, .
Resposta
A solução do problema, considerando as condições iniciais, é: