Resolva a EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) . Esse tipo de equação faz parte do conteúdo de equações diferenciais de ordem 2 com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar usar a teoria das equações características, que nos ajuda a encontrar soluções gerais para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica associada à EDO. Para uma equação da forma , a característica é . No nosso caso, e , então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Então, temos duas soluções para :

Passo 4

Com os valores de encontrados, a solução geral da EDO é uma combinação linear das soluções exponenciais correspondentes. Ou seja:
Substituindo e :
onde e são constantes que dependem das condições iniciais do problema.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Em cada um dos problemas abaixo, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado:
(d) e .
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Suponha que satisfaça para todo e para algum , ou seja, é periódica de período . Mostre que
As funções São linearmente independentes? Verifique usando o Wronskiano.