Resolva a EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO)
. Esse tipo de equação faz parte do conteúdo de equações diferenciais de ordem 2 com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar usar a teoria das equações características, que nos ajuda a encontrar soluções gerais para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica associada à EDO. Para uma equação da forma
, a característica é
. No nosso caso,
e
, então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 4
Com os valores de
encontrados, a solução geral da EDO é uma combinação linear das soluções exponenciais correspondentes. Ou seja:
Substituindo
e
:
onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais do problema.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Em cada um dos problemas abaixo, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado:
(d) e
.
(d)
Resolva a EDO d2I/dt2+20(dI/dt)+200I=0. Encontre I(t).
Suponha que
satisfaça
para todo
e para algum
, ou seja,
é periódica de período
. Mostre que
As funções
São linearmente independentes? Verifique usando o Wronskiano.