Suponha que f satisfaça f(t+T)=f(t) para todo t >= 0 e para algum T>0, ou seja, f é periódica de período T. Mostre que
Lf(t)=integral0^T e^-s t d t1-e^-s T

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma função que se repete todo intervalo de tempo . Isso significa que para qualquer . A matéria que vamos usar para resolver isso é a Transformada de Laplace, que ajuda a transformar funções do tempo para o domínio da frequência. Vamos precisar entender como a periodicidade da função afeta a sua transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é definida por:
Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt
Agora, como Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt = sumk=0^infty integralkT^(k+1)T e^-s t f(t) , dt é periódica com período , podemos dividir a integral de 0 a infinito em somas de integrais de cada período . Ou seja:

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar isso. Seja integralkT^(k+1)T e^-s t f(t) , dt = e^-s kT integral0^T e^-s tau f(tau) , dtau , onde varia de 0 a . Então, a integral fica:
Aqui, usamos o fato de que é periódica, então .

Passo 4

Agora, podemos substituir essa expressão de volta na soma:
Lf(t) = sumk=0^infty e^-s kT integral0^T e^-s tau f(tau) , dtau
Observe que a integral Lf(t) = ( integral0^T e^-s tau f(tau) , dtau ) sumk=0^infty e^-s kT é constante em relação a , então podemos fatorar:

Passo 5

A soma Lf(t) = integral0^T e^-s t f(t) , dt1 - e^-s T é uma série geométrica que converge para quando , o que é válido para . Então, temos:

Resposta

Lf(t) = integral0^T e^-s t f(t) , dt1 - e^-s T

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