Suponha que satisfaça para todo e para algum , ou seja, é periódica de período . Mostre que

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma função que se repete todo intervalo de tempo . Isso significa que para qualquer . A matéria que vamos usar para resolver isso é a Transformada de Laplace, que ajuda a transformar funções do tempo para o domínio da frequência. Vamos precisar entender como a periodicidade da função afeta a sua transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é definida por:
Agora, como é periódica com período , podemos dividir a integral de 0 a infinito em somas de integrais de cada período . Ou seja:

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar isso. Seja , onde varia de 0 a . Então, a integral fica:
Aqui, usamos o fato de que é periódica, então .

Passo 4

Agora, podemos substituir essa expressão de volta na soma:
Observe que a integral é constante em relação a , então podemos fatorar:

Passo 5

A soma é uma série geométrica que converge para quando , o que é válido para . Então, temos:

Resposta

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Resolva a EDO
Em cada um dos problemas abaixo, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado:
(d) e .
As funções São linearmente independentes? Verifique usando o Wronskiano.