Suponha que
satisfaça
para todo
e para algum
, ou seja,
é periódica de período
. Mostre que
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma função
que se repete todo intervalo de tempo
. Isso significa que
para qualquer
. A matéria que vamos usar para resolver isso é a Transformada de Laplace, que ajuda a transformar funções do tempo para o domínio da frequência. Vamos precisar entender como a periodicidade da função afeta a sua transformada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é definida por:
Agora, como
é periódica com período
, podemos dividir a integral de 0 a infinito em somas de integrais de cada período
. Ou seja:
Passo 3
Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar isso. Seja
, onde
varia de 0 a
. Então, a integral fica:
Aqui, usamos o fato de que
é periódica, então
.
Passo 4
Agora, podemos substituir essa expressão de volta na soma:
Observe que a integral
é constante em relação a
, então podemos fatorar:
Passo 5
A soma
é uma série geométrica que converge para
quando
, o que é válido para
. Então, temos:
Resposta
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Resolva a EDO
Em cada um dos problemas abaixo, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado:
(d) e
.
(d)
As funções
São linearmente independentes? Verifique usando o Wronskiano.