Resolva a EDO d2I/dt2+20(dI/dt)+200I=0. Encontre I(t).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do segundo grau:
Isso significa que queremos encontrar a função
que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de ordem superior e como encontrar soluções para elas usando métodos de coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução da EDO tem a forma de uma função exponencial, ou seja:
Aqui,
é um número que precisamos descobrir. Essa é uma abordagem comum porque as derivadas de funções exponenciais também são exponenciais, o que simplifica a equação.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo essas derivadas na equação original, temos:
Passo 4
Podemos fatorar
(que nunca é zero) da equação:
Como
, a equação se reduz a:
Essa é a equação característica da nossa EDO.
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
. Substituindo:
Passo 6
A raiz quadrada de um número negativo envolve números imaginários. Então:
Portanto, as soluções para
são:
Passo 7
Como temos raízes complexas da forma
, a solução geral da EDO é:
Aqui,
e
.
Passo 8
Substituindo os valores de
e
, a solução fica:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais do problema.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se
e
são soluções da homogênea e encontre a solução geral.
.
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e
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.
Em cada um dos problemas abaixo, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado:
(d) e
.
(d)
Resolva a EDO