Resolva a EDO d2I/dt2+20(dI/dt)+200I=0. Encontre I(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do segundo grau:
Isso significa que queremos encontrar a função que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de ordem superior e como encontrar soluções para elas usando métodos de coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução da EDO tem a forma de uma função exponencial, ou seja:
Aqui, é um número que precisamos descobrir. Essa é uma abordagem comum porque as derivadas de funções exponenciais também são exponenciais, o que simplifica a equação.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Substituindo essas derivadas na equação original, temos:

Passo 4

Podemos fatorar (que nunca é zero) da equação:
Como , a equação se reduz a:
Essa é a equação característica da nossa EDO.

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
onde , e . Substituindo:

Passo 6

A raiz quadrada de um número negativo envolve números imaginários. Então:
Portanto, as soluções para são:

Passo 7

Como temos raízes complexas da forma , a solução geral da EDO é:
Aqui, e .

Passo 8

Substituindo os valores de e , a solução fica:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais do problema.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se e são soluções da homogênea e encontre a solução geral. .
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Em cada um dos problemas abaixo, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado:
(d) e .
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