Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.
(a) d/dt y(t) + 3 y(t) = t + e^(-2 t) ; y(t) = t/3 - 1/9 + e^(-2 t) + e^(-3 t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificarmos se a função é solução da equação diferencial . Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de , substituir na equação diferencial e ver se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a . Vamos derivar cada termo separadamente:
A derivada de é , a derivada de é 0, a derivada de é e a derivada de é . Então,

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação diferencial:
Vamos simplificar cada parte:
Primeiro, multiplicando por cada termo dentro do parênteses:
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos somar os termos semelhantes:
  • O termo permanece
Portanto, a expressão simplificada é:

Resposta

Sim, a função satisfaz a equação diferencial dada.

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