A lei de Resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do meio ambiente. Seja
a temperatura do objeto no instante
, e Ta a temperatura constante do meio ambiente. Demonstre a Lei de Resfriamento de Newton utilizando equações diferenciais lineares, partindo da equação diferencial que a descreve.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Lei de Resfriamento de Newton, que basicamente diz que a velocidade com que a temperatura de um objeto muda é proporcional à diferença entre a temperatura dele e a do ambiente. Para resolver isso, vamos usar equações diferenciais lineares e a equação dada:
Vamos precisar entender como resolver essa equação diferencial para demonstrar a lei.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Ela tem a forma geral:
No nosso caso,
e
. Isso significa que a equação está na forma padrão e podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante (
). O fator integrante é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação e integrá-la facilmente.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para:
Agora, a parte esquerda é a derivada de
, o que facilita a integração.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados em relação ao tempo
:
A integração do lado esquerdo resulta em
, e o lado direito:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, isolamos
para encontrar a solução geral:
Essa é a solução da equação diferencial que descreve a Lei de Resfriamento de Newton.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
onde
é uma constante determinada pela condição inicial.
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais lineares abaixo pelo método do fator integrante, usando as condições iniciais:
com
e
5
Resolva a equação diferencial linear abaixo pelo método do fator integrante:
Resolva a equação diferencial linear abaixo pelo método do fator integrante:
Dois novos trabalhadores foram contratados para uma linha de montagem. João processou 25 unidades durante a primeira hora e 45 unidades durante a segunda. Marcos processou 35 unidades durante a primeira hora e 50 unidades na segunda. Assumindo que
, estime o número máximo de unidades por hora que cada trabalhador é capaz de processar.
Considere que a curva de aprendizagem é dada por:
Considere que a curva de aprendizagem é dada por:
Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.