A lei de Resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do meio ambiente. Seja a temperatura do objeto no instante , e Ta a temperatura constante do meio ambiente. Demonstre a Lei de Resfriamento de Newton utilizando equações diferenciais lineares, partindo da equação diferencial que a descreve.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Lei de Resfriamento de Newton, que basicamente diz que a velocidade com que a temperatura de um objeto muda é proporcional à diferença entre a temperatura dele e a do ambiente. Para resolver isso, vamos usar equações diferenciais lineares e a equação dada:
Vamos precisar entender como resolver essa equação diferencial para demonstrar a lei.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Ela tem a forma geral:
No nosso caso, e . Isso significa que a equação está na forma padrão e podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante ( ). O fator integrante é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação e integrá-la facilmente.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para:
Agora, a parte esquerda é a derivada de , o que facilita a integração.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação ao tempo :
A integração do lado esquerdo resulta em , e o lado direito:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, isolamos para encontrar a solução geral:
Essa é a solução da equação diferencial que descreve a Lei de Resfriamento de Newton.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
onde é uma constante determinada pela condição inicial.

Exercícios relacionados

Resolva as equações diferenciais lineares abaixo pelo método do fator integrante, usando as condições iniciais:
com e
5
Resolva a equação diferencial linear abaixo pelo método do fator integrante:
Dois novos trabalhadores foram contratados para uma linha de montagem. João processou 25 unidades durante a primeira hora e 45 unidades durante a segunda. Marcos processou 35 unidades durante a primeira hora e 50 unidades na segunda. Assumindo que , estime o número máximo de unidades por hora que cada trabalhador é capaz de processar.
Considere que a curva de aprendizagem é dada por:
Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.