A lei de Resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do meio ambiente. Seja T(t) a temperatura do objeto no instante t, e Ta a temperatura constante do meio ambiente. Demonstre a Lei de Resfriamento de Newton utilizando equações diferenciais lineares, partindo da equação diferencial que a descreve.
dT/dt = -k(T - Ta)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Lei de Resfriamento de Newton, que basicamente diz que a velocidade com que a temperatura de um objeto muda é proporcional à diferença entre a temperatura dele e a do ambiente. Para resolver isso, vamos usar equações diferenciais lineares e a equação dada:
Vamos precisar entender como resolver essa equação diferencial para demonstrar a lei.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Ela tem a forma geral:
No nosso caso, e . Isso significa que a equação está na forma padrão e podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante ( ). O fator integrante é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação e integrá-la facilmente.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para:
Agora, a parte esquerda é a derivada de , o que facilita a integração.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação ao tempo :
A integração do lado esquerdo resulta em , e o lado direito:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, isolamos para encontrar a solução geral:
Essa é a solução da equação diferencial que descreve a Lei de Resfriamento de Newton.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
onde é uma constante determinada pela condição inicial.

Exercícios relacionados