Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma função específica, , é solução da equação diferencial . Ou seja, precisamos ver se, ao substituir essa função na equação, a igualdade é verdadeira. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de em relação a e depois somar a essa derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a :
Vamos derivar termo a termo:
  • A derivada de é (porque a derivada de é ).
  • A derivada de é (porque a derivada de é ).
  • A derivada de é (usando a regra da cadeia).
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos somar à sua derivada:
Distribuindo e somando os termos semelhantes:
Percebemos que e se cancelam, assim como e :

Passo 4

Agora, comparamos o resultado com o lado direito da equação diferencial:
Vemos que ambos os lados são iguais, ou seja, .

Resposta

Sim, a função é solução da equação diferencial .

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Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.
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Calcule:
Calcule: ; onde está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência e pelos eixos coordenados.