Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma função específica,
, é solução da equação diferencial
. Ou seja, precisamos ver se, ao substituir essa função na equação, a igualdade é verdadeira. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de
em relação a
e depois somar
a essa derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Vamos derivar termo a termo:
- A derivada de
é (porque a derivada de é ). - A derivada de
é (porque a derivada de é ). - A derivada de
é (usando a regra da cadeia).
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos somar
à sua derivada:
Distribuindo e somando os termos semelhantes:
Percebemos que
e
se cancelam, assim como
e
:
Passo 4
Agora, comparamos o resultado com o lado direito da equação diferencial:
Vemos que ambos os lados são iguais, ou seja,
.
Resposta
Sim, a função
é solução da equação diferencial
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.
Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.
Calcule:
Calcule:
; onde
está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados.